[論文レビュー] On the Connection between Residual Distribution Schemes and Flux Reconstruction

Rémi Abgrall, Élise Le Mélédo+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 3, 2018

Fluid Dynamics and Turbulent Flows被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、残留分布（RD）スキームとフラックス再構成（FR）法の間の理論的同等性を確立し、FRをRDフレームワーク内で再定式化できること、逆にFRの枠組みでRDを再定式化できることを示している。主な貢献は、一般の多角形メッシュ上でのエネルギー安定FRスキームを構築する体系的な手法を提供することであり、エネルギー安定性を保証する補正関数の条件を導出することで、従来のテンソル積要素や三角形要素に限らない範囲にまで安定性解析を拡張している。

ABSTRACT

In this short paper, we are considering the connection between the \\emph{Residual Distribution Schemes} (RD) and the \\emph{Flux Reconstruction} (FR) approach. We demonstrate that flux reconstruction can be recast into the RD framework and vice versa. Because of this close connection we are able to apply known results from RD schemes to FR methods. In this context we propose a first demonstration of entropy stability for the FR schemes under consideration and show how to construct entropy stable numerical schemes based on our FR methods. Simultaneously, we do not restrict the mesh to tensor structures or triangle elements, but rather allow polygons. The key of our analysis is a proper choice of the correction functions for which we present an approach here.

研究の動機と目的

• 残留分布（RD）スキームとフラックス再構成（FR）法の間の理論的関係を確立すること。
• 既存のRD安定性結果をFRスキームに応用可能にするための基盤を提供すること。
• 一般の多角形メッシュ上でのエネルギー安定FRスキームを構築するフレームワークを開発すること。
• FR法におけるエネルギー安定性を保証する補正関数に関する構成的条件を導出すること。
• エネルギー安定性解析を、テンソル積要素や三角形要素に限らず、一般の多角形にまで拡張すること。

提案手法

• ノード自由度と補正関数を用いて、FRスキームをRDフレームワーク内に再定式化する。
• 一般の多角形要素におけるフラックス再構成を用いて、保存則が保たれるように補正関数を定義する。
• 既知のRD安定性理論を活用し、エネルギー安定性結果をFR法に転送する。
• Tadmorのエネルギー不等式に基づき、エネルギー安定性を保証する補正関数の条件を導出する。
• 導出された不等式を満たすように補正関数を調整することで、エネルギー安定FRスキームを構築する。
• 数値フラックスと体積積分を用いて、エネルギー安定性条件を補正関数の性質で表現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フラックス再構成スキームは、どのように残留分布フレームワークに再定式化できるか？
• RQ2 補正関数にどのような条件が課されると、FRスキームにおけるエネルギー安定性が保証されるか？
• RQ3 一般の多角形メッシュに対して、エネルギー安定FRスキームを構築することは可能か？（三角形やテンソル積要素に限らない。）
• RQ4 この再定式化を通じて、既知のRD安定性結果はFR法にどのように適用できるか？
• RQ5 補正関数は、FRスキームにおけるエネルギー安定性を達成するために果たす役割は何か？

主な発見

• FRスキームは、RDフレームワーク内に等価に再定式化可能であり、これによりRDの安定性結果をFR法に転送できる。
• 補正関数がTadmorのエネルギー条件に基づいて導出された特定の不等式を満たす限り、FRスキームにおけるエネルギー安定性が保証される。
• 提案されたフレームワークにより、一般の多角形メッシュ上でのエネルギー安定FRスキームの構築が可能となり、従来の構造的メッシュや三角形要素に限らない範囲にまで拡張された。
• 補正関数はエネルギー安定性に直接影響を与え、その設計を調整することでエネルギー不等式を満たすようにできる。
• 導出された安定性条件を満たすように補正関数を調整することで、エネルギー安定FRスキームを構築するための構成的手法が提供された。
• 解析から、FRスキームのエネルギー安定性が、要素体積上での補正関数の積分的性質に依存することが明らかになった。