[論文レビュー] On the connection between the radial momentum operator and the Hamiltonian in n dimensions

Gil Paz|arXiv (Cornell University)|Sep 11, 2000

Quantum and Classical Electrodynamics参考文献 3被引用数 24

ひとこと要約

この論文は、自由粒子のハミルトニアンを径方向運動量演算子 $\hat{P}_r$ で表す標準的な量子力学的関係式 $\hat{H} = \hat{P}_r^2/2m + \hat{L}^2/2mr^2$ が、1次元および3次元でのみ成り立つことを示している。一般に $n$ 次元空間においては、$n$ 次元球座標の曲率に起因する、追加の項 $\hbar^2(n-1)(n-3)/(8mr^2)$ をハミルトニアンに加える必要がある。これにより、円柱座標系や高次元系における長年の不整合が解消される。

ABSTRACT

The radial momentum operator in quantum mechanics is usually obtained through canonical quantization of the (symmetrical form of the) classical radial momentum. We show that the well known connection between the Hamiltonian of a free particle and the radial momentum operator $\hat{H}=\hat{P}_{r}^2/2m+ $\hat{L}^2$}/2mr^{2}$ is true only in one or three dimensions. In general, an extra term of the form $\hbar^{2}(n-1)(n-3)/ 2m \cdot 4r^{2}$ has to be added to the Hamiltonian.

研究の動機と目的

• 自由粒子のハミルトニアンを径方向運動量演算子 $\hat{P}_r$ で表す標準的な量子力学的式 $\hat{H} = \hat{P}_r^2/2m + \hat{L}^2/2mr^2$ が円柱座標系や高次元系でなぜ失敗するかを明確にすること。
• 正準量子化を用いて、$n$ 次元球座標系における自由粒子の正しいハミルトニアンの形を導出すること。
• $n$ 次元曲線座標系における径方向運動量演算子とラプラシアンの間の乖離の原因を特定すること。
• 一般化により任意の $n$ に対して考察することで、よく知られた3次元の関係が根本的な原理ではなく、数値的偶然であることを示すこと。

提案手法

• 計量テンソルと体積要素を用いて、$n$ 次元ラプラシアンを球座標系で導出すること。
• ラプラシアンの径方向成分を $\Delta_r = \frac{1}{r^{n-1}}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^{n-1}\frac{\partial}{\partial r}\right)$ として表現すること。
• 対称古典的径方向運動量の正準量子化により径方向運動量演算子を定義する：$\hat{P}_r = -i\hbar\left(\frac{\partial}{\partial r} + \frac{n-1}{2r}\right)$。
• $\hat{P}_r^2/2m$ を計算し、ハミルトニアンの径方向成分 $\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m}\Delta$ と比較すること。
• $\hat{P}_r^2/2m$ と径方向ラプラシアンの差に起因する余分な項 $\frac{\hbar^2(n-1)(n-3)}{8mr^2}$ を特定すること。
• ゲージ変換に類似した変換 $\hat{P}_r \to \hat{P}_r - i\hbar f(r)$ を用いて、この余分な項を消去できる再定義は不可能であり、物理的に不可避であることを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜ標準的な径方向運動量-ハミルトニアン関係が円柱座標系で失敗するのか？
• RQ2 自由粒子のハミルトニアンの正しい形は $n$ 次元球座標系でどのようなものか？
• RQ3 なぜ関係式 $\hat{H} = \hat{P}_r^2/2m + \hat{L}^2/2mr^2$ が1次元および3次元でのみ成り立つのか？
• RQ4 一般の $n$ に対してハミルトニアンに現れる余分な項 $\frac{\hbar^2(n-1)(n-3)}{8mr^2}$ の起源は何か？
• RQ5 ユニタリ変換やゲージ変換によって $\hat{P}_r^2/2m$ と径方向ラプラシアンの乖離を解消できるか？

主な発見

• 標準的な関係式 $\hat{H} = \hat{P}_r^2/2m + \hat{L}^2/2mr^2$ は、1次元および3次元でのみ成り立つ。一般の $n$ 次元空間では成り立たない。
• $n$ 次元球座標系において、正しいハミルトニアンには追加の項が含まれる：$\hat{H} = \frac{\hat{P}_r^2}{2m} + \frac{\hat{L}^2}{2mr^2} + \frac{\hbar^2(n-1)(n-3)}{8mr^2}$。
• 余分な項は $n$ 次元空間の曲率に起因し、$(n-1)(n-3)$ に比例しており、$n=1$ および $n=3$ で消える。
• 径方向運動量演算子 $\hat{P}_r = -i\hbar\left(\frac{\partial}{\partial r} + \frac{n-1}{2r}\right)$ は正準的であり、この余分な項を消去する再定義は不可能である。
• 乖離は演算子の順序付けの問題ではなく、$n$ 次元極座標系の幾何的構造に起因するものであり、Essén の一般化された量子化則との比較によって裏付けられている。
• 円柱座標系における失敗は、$\rho$ 座標の2次元極座標的性質に起因し、一般 $n$ 次元解析における $n=2$ の異常と同一のものである。