[論文レビュー] On the connection of the generalized nonlinear sigma model with constrained stochastic dynamics

Franco Ferrari, Jarosław Paturej|arXiv (Cornell University)|Dec 18, 2008

Material Dynamics and Properties参考文献 23被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、一般化非線形σ模型（GNLσM）と制約付き確率過程との間の直接的な関係を確立する。具体的には、GNLσMの生成関数が非ホノモニックな制約を伴うランジュヴィン方程式の生成関数と等価であることを証明する。擬似極座標を用いることで、デルタ関数による制約から生じる関数行列式が自明であることを示し、場の理論的定式化と剛体的に結合されたビーズの基礎的ブラウン運動との間の関係を再確立する。

ABSTRACT

The dynamics of a freely jointed chain in the continuous limit is described by a field theory which closely resembles the nonlinear sigma model. The generating functional $Ψ[J]$ of this field theory contains nonholonomic constraints, which are imposed by inserting in the path integral expressing $Ψ[J]$ a suitable product of delta functions. The same procedure is commonly applied in statistical mechanics in order to enforce topological conditions on a system of linked polymers. The disadvantage of this method is that the contact with the stochastic process governing the diffusion of the chain is apparently lost. The main goal of this work is to reestablish this contact. To this purpose, it is shown here that the generating functional $Ψ[J]$ coincides with the generating functional of the correlation functions of the solutions of a constrained Langevin equation. In the discrete case, this Langevin equation describes as expected the Brownian motion of beads connected together by links of fixed length.

研究の動機と目的

• 経路積分においてデルタ関数を用いて制約を課した際、一般化非線形σ模型（GNLσM）と確率的力学との間の関係が失われたことを再確認し、その関係を再確立すること。
• 固定長のリンクを有するブラウン運動を特徴とする確率過程からGNLσMが生じるかどうかの曖昧さを解消すること。
• 非ホノモニックな制約が存在するにもかかわらず、GNLσMの生成関数が制約付きランジュヴィン方程式の生成関数と一致することを示すこと。
• デルタ関数による制約から生じる関数行列式が、擬似極座標に変換することで自明であることを示し、これにより場の理論的定式化と確率的定式化との等価性を保証すること。

提案手法

• 固定長のリンクを表す |R′|² = 1 を課すデルタ関数を用いた経路積分により、GNLσMの生成関数 Ψ[J] を定式化する。
• ノイズ場 ν を伴う制約付きランジュヴィン方程式に従う確率的過程を定義し、ビーズの運動を拡散的かつ固定リンク長で制約する。
• マーティン–シギア–ローズ形式を用い、デルタ関数による制約を含めた確率的過程の生成関数 ˜Ψ[J] を構築する。
• 制約構造を単純化し、デルタ関数から生じる関数行列式を評価するために、場の変数を擬似極座標に変換する。
• 変数変換の後、デルタ関数 δ(|R′|² − 1) から生じる関数行列式が定数に簡略化されることを示し、Ψ[J] と ˜Ψ[J] の間に差異が生じないことを保証する。
• 連続極限において Ψ[J] と ˜Ψ[J] が正確に等価であることを証明し、GNLσM が制約付き確率的過程と同一の力学を記述することを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化非線形σ模型（GNLσM）は、非ホノモニックな制約を伴う確率的ランジュヴィン過程から導出可能か？
• RQ2 経路積分において固定長のリンクを課すためにデルタ関数を導入することは、確率的力学との関係を曇らせるか？
• RQ3 デルタ関数による制約から生じる関数行列式は非自明か？ もし非自明であれば、確率的生成関数との等価性を破るか？
• RQ4 特に擬似極座標への変数変換により、制約構造が単純化され、行列式が自明になるか？
• RQ5 Ψ[J] と ˜Ψ[J] の等価性は、GNLσM が剛体的に結合されたビーズのブラウン運動と同一の物理的系を記述することを確認できるか？

主な発見

• 一般化非線形σ模型の生成関数 Ψ[J] は、制約付きランジュヴィン方程式の解の生成関数 ˜Ψ[J] と正確に等価である。
• 非ホノモニックな制約 δ(|R′|² − 1) は、擬似極座標で表現した場合、非自明な関数行列式を生じない。
• 変数変換の後、デルタ関数制約から生じる関数行列式は自明な定数に簡略化され、場の理論的定式化と確率的定式化との等価性が保証される。
• N 個のビーズが固定長のリンクで接続された離散的ランジュヴィン力学の連続極限は、経路積分による導出と同一の生成関数を持つ GNLσM を得る。
• ランジュヴィン方程式で記述される確率的過程は、自由に結合された鎖の正しい平衡および動的挙動を再現し、GNLσM が確率的場の理論として正当化される。
• 等価性の確認により、GNLσM は形式的な場の理論にとどまらず、幾何的制約下での実際のブラウン運動を記述するものであることが確認される。