[論文レビュー] On the connectivity of Milnor fiber for mixed functions

Mutsuo Oka|arXiv (Cornell University)|Sep 3, 2018

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 1被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、ハム＝レ条件および原点に近接する零点集合の滑らかな点の存在の下で、混合関数のミルナー・ファイバーの連結性を確立する。一パrameter群による微分同相写像（モノドロミー写像を含む）を用いて、零点集合の実codimensionが2であり、滑らかな点で球面と横断的交わる場合に、ミルナー・ファイバーが連結であることを証明する。これは、ホロモルフィック関数に既知の連結性結果を、複素構造の欠如によりモース理論が失敗する混合関数へと拡張するものである。

ABSTRACT

In this note, we prove the connectivity of the Milnor fiber for a mixed polynomial $f(\mathbf z,\bar{\mathbf z})$, assuming the existence of a sequence of smooth points of $f^{-1}(0)$ converging to the origin. This result gives also a another proof for the connectivity of the Milnor fiber of a non-reduced complex analytic function which is proved by A. Dimca

研究の動機と目的

• ホロモルフィックおよびアンチホロモルフィック項を含む実解析的関数のクラスである混合関数のミルナー・ファイバーの連結性を確立すること。
• 複素構造の欠如によりモース理論が失敗するため、ホロモルフィック関数に既知の連結性結果を、混合関数へと拡張すること。
• モース理論とは独立した新しい位相的技法を提供すること。モノドロミーと一パrameter微分同相群を用いる。
• 自然な幾何的条件の下で連結性を証明すること：ハム＝レ条件、原点に近接する零点集合の滑らかな点の存在、および球面との横断的交わり。

提案手法

• 写像 $ f: \bar{E}(r,\rho) \to D_\delta \setminus \{0\} $ を用いたチューブ型ミルナー織り込みを用いる。ここで $ E(r,\delta) $ は $ |f| \leq \delta $ の下位集合である。
• モノドロミー写像 $ h $ によって生成される一パrameter微分同相群を用いる。この群はミルナー・ファイバーに作用し、その構造を保存する。
• 織り込みのパス・リフト性を用いて、ファイバー内の点の間の経路を構成する。
• $ \gcd(n_1,\dots,n_r) = 1 $ に基づく数論的議論を適用し、反復されたモノドロミー作用によってファイバー内のすべての点を接続する。
• 滑らかな点 $ \mathbf{w} $ における球面 $ S_r^{2n-1} $ と $ f^{-1}(0) $ の横断的交わりに依存する。これにより、織り込みが適切に定義される。
• ミルナー・ファイバーが球面織り込み $ \varphi: S_r^{2n-1} \setminus K \to S^1 $ にホモトピー同値であるという事実を用い、球面上での位相的議論を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 接空間に複素構造がない場合、混合関数のミルナー・ファイバーが連結となる条件は何か？
• RQ2 混合関数の設定において、モース理論を用いずにミルナー・ファイバーの連結性を確立できるか？
• RQ3 零点集合に滑らかな点を含む場合、ミルナー・ファイバーにおけるモノドロミー作用とその連結性の関係は何か？
• RQ4 横断的交わりや安定なミルナー半径などの幾何的仮定は、連結性を保証するのに十分か？
• RQ5 非便利または非孤立な特異点を有する混合関数に対しても、連結性結果を拡張できるか？

主な発見

• 関数がハム＝レ条件を満たし、零点集合 $ f^{-1}(0) $ に $ \|\mathbf{w}\| < r_0 $ を満たす滑らかな点 $ \mathbf{w} $ が存在し、かつ $ S_{\|\mathbf{w}\|}^{2n-1} $ が $ \mathbf{w} $ で $ f^{-1}(0) $ と横断的に交わる場合、混合関数のミルナー・ファイバーは連結である。
• 連結性はモノドロミーに基づく経路構成により証明される：$ \gcd $ が1である場合、反復モノドロミー作用によってファイバー内の点が接続される。
• 零点集合が孤立特異点を持ち、ハム＝レ条件を満たす強非退化な便利な混合関数にこの結果が適用可能である。
• $ V^\sharp $ が空でない限り、消失座標部分空間に沿って一様局所的である非便利な混合関数に対しても結果は拡張可能である。
• 証明はモース理論とは独立した新規な方法を提供する。微分同相群とモノドロミーに依存し、混合関数に対する新しい位相的戦略を提供する。
• この連結性結果は、ホロモルフィック関数に対する既知の結果と整合的であるが、実解析的特異点を有する混合関数のより広いクラスへと拡張している。