[論文レビュー] On the constant scalar curvature Kähler metrics, existence results

Xiuxiong Chen, Jingrui Cheng|arXiv (Cornell University)|Jan 2, 2018

Geometry and complex manifolds参考文献 39被引用数 53

ひとこと要約

本論文は、cscK計量の不存在と非増減Kエネルギーを持つ破壊的ジオメトリック光線との間の等価性を証明し、L1ジオメトリック距離におけるKエネルギーのpropernessからcscK計量の存在を確立し、弱い最小点の正則性を示す。

ABSTRACT

In this paper, we generalize our apriori estimates on cscK(constant scalar curvature Kähler) metric equation to more general scalar curvature type equations (e.g., twisted cscK metric equation). As applications, under the assumption that the automorphism group is discrete, we prove the celebrated Donaldson's conjecture that the non-existence of cscK metric is equivalent to the existence of a destabilized geodesic ray where the $K$-energy is non-increasing. Moreover, we prove that the properness of $K$-energy in terms of $L^1$ geodesic distance $d_1$ in the space of Kähler potentials implies the existence of cscK metric. Finally, we prove that weak minimizers of the $K$-energy in $(\mathcal{E}^1, d_1)$ are smooth.

研究の動機と目的

• cscK型方程式をねじれたcscKのようなより一般的なスカラー曲率方程式へ拡張するための前期推定の動機づけと拡張。
• Donaldsonの連続経路の存在と、離散自己同型群の下での非増加Kエネルギーを持つ destabilizing geodesic ray が cscK計量を妨げるという DONALDSON の猜想の証明。
• d1距離におけるKエネルギーのpropernessがcscK計量の存在を意味することの示唆。
• E^1空間におけるKエネルギーの弱い極小解の正則性の示唆。
• cscK計量の存在とジオメトリック安定性およびcscK方程式を解く連続的経路アプローチとの関係を示す。

提案手法

• 以前の研究からの前処理推定をねじれたcscK型方程式へ一般化する。
• Donaldsonの連続性パスと、それが幾何的制約下で開放/閉鎖性を保つことを利用してcscK方程式を解く。
• 完全なジオメトリック計量空間(E^1, d1)へKエネルギーとJ_chi関数を拡張し、有限エネルギージオメトリック光線に沿った凸性を研究。
• d1距離に関するKエネルギーのpropernessがcscK計量の存在と同値であることを証明。
• twistedKエネルギーの弱い極小解が連続性パスを介して滑らかになる正則性を証明。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 cscK計量の不存在は、非増加Kエネルギーを持つ destabilizing geodesic ray の存在を意味するのか。
• RQ2 L1ジオメトリック距離に関するKエネルギーのpropernessはcscK計量の存在を保証するのか。
• RQ3 (E^1, d1)におけるtwisted/Kエネルギーの弱い極小解は必ず滑らかか。
• RQ4 twisted Kエネルギーはジオメトリック安定性とDonaldson猜想、離散自己同型設定でどう相互作用するのか。
• RQ5 連続性パスを用いてtwisted cscK方程式と一般的な自己同型群に対する存在結果を拡張できるのか。

主な発見

• Aut0(M,J)=0を仮定すると、Donaldsonの猜想が成立する：cscK計量の不存在は、Kエネルギーが非増加である破壊的ジオメトリック光線の存在と同値。
• cscK計量の存在は、KエネルギーのL1ジオメトリック距離d1に関するpropernessと同値であり、Kählerポテンシャル空間上で成り立つ。
• (E^1, d1)におけるKエネルギーの弱い極小解は滑らかであり、この正則性はtwisted Kエネルギーにも適用される。
• KエネルギーとJ_chiは(E^1, d1)へ拡張可能で、有限エネルギー光線に沿った凸性を持ち、cscKの存在に対する変分法的アプローチを可能にする。
• 有界なスカラー曲率とエントロピーを持つKählerポテンシャルの集合がC^{3,α}で事前コンパクトとなるとの圧縮性定理があり、曲率下限の下で正則性とCalabi流の拡張をもたらす。
• 本研究はtwisted連続性パスの可解性を定量化する不変量R([ω0],[χ])を導入・使用し、Rが同じKähler類でwell-definedかつ不変であることを示す。
• Kエネルギーが下界を持つ場合、R([ω0],[χ])=1はR([ω0],[χ])>0と同値であり、twistedパスがt<1まで解ける条件を明らかにする。