[論文レビュー] On the constant scalar curvature Kähler metrics, general automorphism group

Xiuxiong Chen, Jingrui Cheng|arXiv (Cornell University)|Jan 18, 2018

Geometry and complex manifolds参考文献 29被引用数 45

ひとこと要約

この論文は特異な右辺付きスカラー曲率型の推定を導出し、Aut0(M,J)が非自明な場合にジオデシック安定性とcscK計量の存在を結ぶDonaldsonの予想を証明する；またKエネルギーのpropernessと非離散的な自己同型群の下でのcscK存在の関係を示す。

ABSTRACT

In this paper, we derive estimates for scalar curvature type equations with more singular right hand side. As an application, we prove Donaldson's conjecture on the equivalence between geodesic stability and existence of cscK when $Aut_0(M,J) eq0$. Moreover, we also show that when $Aut_0(M,J) eq0$, the properness of $K$-energy with respect to a suitably defined distance implies the existence of cscK.

研究の動機と目的

• 拡張 a priori estimates for twisted cscK equations to more general, potentially singular right-hand sides within a fixed Kähler class.
• Generalize estimates to the setting Aut0(M,J) is non-discrete.
• Establish equivalence between geodesic stability and existence of cscK metrics in the non-discrete automorphism case.
• Demonstrate that properness of the K-energy (modulo the automorphism group) guarantees the existence of cscK metrics.

提案手法

• det(g+φ_{i jbar}) = e^{F} det g の形の右辺を持つスカラー曲率型方程式を研究する。
• F+f の特異な右辺の下で W^{2,p} および勾配推定を開発する。
• F+f の有界性結果を証明し、Δφ および関連量に関する事前制御を導出する。
• 連続経路法を用いて事前推定と cscK 計量の存在結果を結ぶ。
• ジオデシック射に対する Yen 不変量を定義し活用して、射に沿ったエネルギー増大を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Aut0(M,J) ≠ 0 のとき、ジオデシック安定性は cscK 計量の存在を意味するか？
• RQ2 Aut0(M,J) を法とする L1 距離に対する K-energy の properness が cscK 計量の存在を保証するか？
• RQ3 スカラー曲率型方程式の特異な右辺は、事前推定と正則性にどのように影響するか？
• RQ4 安定性と存在の特徴付けにおける Yen 不変量とジオデシック射の平行性の役割は何か？
• RQ5 非離散的自己同型設定において、ジオデシック半安定性は t<1 すべてに対する連続経路の解法と同値か？

主な発見

• cscK 計量の非存在とジオデシック安定性条件の同値性を確立した。
• Aut0(M,J)を法とした L1 距離に対する K-energy の properness があるとき cscK 計量が存在する／存在しないの充足がある。
• 特異な右辺を持つスカラー曲率型方程式の事前推定を得た。β ≥ 0 の下での W^{2,p} 推定を含む。
• トーリック多様体では cscK の存在は L1 安定性と同値である。
• 本論文は従来の離散的 Aut0 の結果を一般の非離散自己同型群へ拡張し、この設定でのジオデシック安定性の特徴づけを可能にしている。