[論文レビュー] On the Constitutive Relations for Second Sound in Thermo-Electroelasticity

Adriano Montanaro|arXiv (Cornell University)|Dec 7, 2009

Thermoelastic and Magnetoelastic Phenomena参考文献 44被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、有限変形可能で電気的に分極可能かつ熱伝導性を有する連続体に対して、熱力学的に整合性のある構成関係を導出し、第二音響熱弾性を電磁機械的系へと拡張する。熱束のフレーム不変なCattaneo型の時間発展方程式を定式化し、Coleman-Noll手順を用いて熱力学的制約を導出。内部エネルギーおよび応力が、緩和関数および熱伝導関数から導かれる対称的かつ正定値テンソルを通じて熱束に依存することを示した。結果として、古典的熱弾性理論の一般化であり、電磁熱弾性材料における第二音響の整合性のある枠組みが得られた。

ABSTRACT

Extending previous papers of Coleman-Fabrizio-Owen [1], [2] and Oncu-Moodie [3], we give a derivation of the thermodynamic restrictions on the constitutive relations of an electrically polarizable and finitely deformable heat conducting elastic continuum, interacting with the electric field. The constitutive equations include an evolution equation for the heat flux; the latter and the temperature obey a frame-invariant form of Cattaneo's equation.

研究の動機と目的

• 有限変形および電気分極を組み込むことで、第二音響理論を電磁熱弾性連続体に拡張すること。
• 熱力学第二法則に整合するように、熱束、応力、分極に関する構成関係の熱力学的制約を導出すること。
• Cattaneoの法則を結合した電磁熱弾性系に一般化するフレーム不変な熱束時間発展方程式を確立すること。
• 熱束の時間微分依存性を除去することで古典的Fourier型理論を回復させ、第二音響理論と古典的理論の整合性を示すこと。

提案手法

• 参照座標系における熱束 Q について、フレーム不変な時間発展方程式 T(F, θ, W) ˙Q + Q = −K(F, θ, W) Grad θ を導出。ここで T および K は非特異的テンソルである。
• 簡略化された散逸不等式にColeman-Noll手順を適用し、自由エネルギー、エントロピー、応力、分極関数に関する熱力学的制約を導出。
• 右Cauchy-Greenテンソル E、温度 θ、電場 W、温度勾配 G を用いた目的的応答関数を導入。
• 自由エネルギー関数 ψ(F, θ, W, g) を用いて、偏微分によりエントロピー η、応力 τ、分極 π の構成式を導出。
• 時間依存性を持つ構成法則を縮退させることで、第二音響および古典的極限における一般化Cattaneo関係を導出。
• 即時の熱伝導テンソル ˆZ−1 が対称的かつ正定値であることを確立し、時間発展方程式の熱力学的整合性を保証。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 第二音響理論を、熱力学的に整合性を持たせる形で、電気分極および有限変形を含むようにどのように拡張できるか？
• RQ2 結合した電磁熱弾性系において、熱束、応力、分極に関する構成関係に課される熱力学的制約は何か？
• RQ3 フレーム不変なCattaneo型熱束時間発展方程式が、自由エネルギー関数および応力応答関数の形にどのように影響を与えるか？
• RQ4 提案された枠組み下で、熱的平衡状態（Grad θ = 0）において熱束が消えるための条件は何か？
• RQ5 第二音響理論と古典的（Fourier）理論は、この統一的熱力学的定式化内でどのように関係しているか？

主な発見

• 熱束の構成関係は、T(F, θ, W) ˙Q + Q = −K(F, θ, W) Grad θ で与えられ、電磁熱弾性系におけるCattaneoの法則の一般化である。
• 内部エネルギーおよび第一Piola-Kirchhoff応力は、それぞれ ε = ε₀(F, θ, W) + Q · A(F, θ, W)Q および S = S₀(F, θ, W) + Q · P(F, θ, W)Q で表され、A および P は緩和および熱伝導テンソルから導かれる。
• テンソル Z = K⁻¹T は対称的かつ正定値であり、時間発展方程式の熱力学的整合性を保証する。
• 熱的平衡状態（Grad θ = 0）では、熱束 Q は恒等的に消える。これは熱力学的に要求される条件である。
• 熱束の時間微分依存性を除去することで、古典的理論が回復され、構成モデルは状態変数のみに依存する形に簡略化される。
• 自由エネルギー関数は温度勾配に依存せず、熱束はFourier不等式 q · g ≤ 0 を満たす必要がある。これにより、散逸が非負となることが保証される。