[論文レビュー] On the Constitutive Relations in Thermo-Electroelasticity

Adriano Montanaro|arXiv (Cornell University)|Oct 7, 2009

Thermoelastic and Magnetoelastic Phenomena参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、第二サウンド理論の枠組み内で、コールマン＝ノール法を用いて、熱電弾性材料の熱力学的に整合性のある構成関係を導出する。自由エネルギー関数が温度勾配に依存しないこと、および熱フラックスが縮小された散逸不等式を満たすことが示され、熱力学的整合性が保証され、静的熱フラックスが熱平衡状態で消えることが証明される。

ABSTRACT

We give a derivation of the thermodynamic restrictions on the constitutive relations of an electrically polarizable and finitely deformable heat conducting elastic continuum, interacting with the electric field. This is made following the method of Coleman-Noll in a thermodynamic theory with the Clausius-Duhem inequality.

研究の動機と目的

• 有限変形、電場、熱伝導を組み込んだ枠組みにおいて、熱弾性の熱力学的枠組みを熱電弾性に拡張すること。
• 電気的に分極可能で、熱を伝導し、有限変形が可能な連続体の構成関係に課される熱力学的制約を導出すること。
• コールマン＝ノール法による散逸不等式の強制を介して、第二法則に整合するようにすること。
• ティアステンの電気的熱弾性に関する基礎的業績を、熱力学的に整合性のある、場の理論に基づく枠組みに統合して一般化すること。
• 熱平衡状態において熱フラックスが消えること、これは縮小された散逸不等式の直接的結果であることを確立すること。

提案手法

• 有限変形、温度、電気ポテンシャル、熱フラックスを状態変数とする連続体に対して、コールマン＝ノール法を適用する。
• クラウジウス＝デュヘム不等式を熱力学的制約として用い、自由エネルギー、応力、分極、熱フラックスを含む散逸不等式が導かれる。
• 変形勾配 F、温度 θ、電場 W、温度勾配 G を変数とする自由エネルギー関数 ψ(F, θ, W, G) に対して、連鎖則を用いて構成関係を導出する。
• 状態変数の時間微分が任意である場合に散逸不等式が成り立つようにすることで、熱力学的整合性を要求し、ψ の関数的依存性に制約を課す。
• 自由エネルギー関数 ψ に対する F、θ、W に関する偏微分から、単位質量あたりのエントロピー、第一ピオラ＝キルホッフ応力テンソル、分極ベクトルを導出する。
• 熱フラックスベクトル Q が温度勾配 G に対して応答する挙動を支配する縮小された散逸不等式 Q·G ≤ 0 を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コールマン＝ノール法をどのように拡張することで、熱電弾性材料の熱力学的に整合性のある構成関係を導出できるか？
• RQ2 有限変形、電場、熱伝導が存在する状況において、熱力学的整合性を保証するための自由エネルギー関数 ψ に必要な条件は何か？
• RQ3 本フレームワークにおいて、熱フラックスが温度勾配に依存する場合、散逸不等式にどのような影響を与えるか？
• RQ4 熱平衡状態において熱フラックスが消える条件は何か、そしてそれが熱力学的制約からどのように導かれるか？
• RQ5 本定式化は、熱力学的に整合性のある枠組み内で、ティアステンの電気的熱弾性に関する初期の業績をどのように一般化するか？

主な発見

• 自由エネルギー関数 ψ は温度勾配 G に依存しない。これは熱力学的整合性のための必要条件である。
• エントロピー η は、ψ と温度 θ との間の負の偏微分で与えられる： η = −∂ψ/∂θ。
• 第一ピオラ＝キルホッフ応力テンソル S は、自由エネルギー関数 ψ と変形勾配 F との勾配から導出される： S = ρR ∂ψ/∂F。
• 単位質量あたりの分極ベクトル Π は、自由エネルギー関数 ψ と電場 W との負の勾配から導出される： Π = −∂ψ/∂W。
• 縮小された散逸不等式 Q·G ≤ 0 が満たされなければならない。これは、熱フラックスが系内でエネルギーを生成しないことを保証する。
• 熱平衡状態（G = 0）では、熱フラックス Q は恒等的に消える： Q(F, θ, W, 0) = 0。これは、定常状態の熱的条件下では熱フラックスが存在しないことを証明する。