[論文レビュー] On the construction of Lyapunov functions with computer assistance

Kaname Matsue, Tomohiro Hiwaki+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 20, 2016

Control and Stability of Dynamical Systems参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、連続および離散力学系の双曲的平衡点の近傍における明示的なリャプノフ関数の構築のためのコンピュータ支援手法を提示する。二段階の検証—関連行列の負定値性（段階1）および微分の直接計算（段階2）—を用い、具体的な領域における二次的リャプノフ関数の妥当性を検証することで、局所的ダイナミクスの厳密な解析と、リャプノフ値を用いた軌道の再パラメータリゼーションを可能にする。

ABSTRACT

Computer assisted procedures of Lyapunov functions defined in given neighborhoods of fixed points for flows and maps are discussed. We provide a systematic methodology for constructing explicit ranges where quadratic Lyapunov functions exist in two stages; negative definiteness of associating matrices and direct approach. We note that the former is equivalent to the procedure of cones describing enclosures of the stable and the unstable manifolds of invariant sets, which gives us flexible discussions of asymptotic behavior not only around equilibria for flows but also fixed points for maps. Additionally, our procedure admits a re-parameterization of trajectories in terms of values of Lyapunov functions. Several verification examples are shown for discussions of applicability.

研究の動機と目的

• 双曲的平衡点の近傍における明示的領域で、リャプノフ関数を検証する体系的かつコンピュータ支援的な手法の開発。
• 非線形力学系における抽象的な存在定理と、具体的かつ計算で検証可能なリャプノフ関数の間のギャップを埋める。
• 二段階の検証手順を組み合わせることで、平衡点を超えたリャプノフ関数の適用範囲を拡張する。
• 漸近的挙動の解析を改善するため、リャプノフ関数値を用いた軌道の再パラメータリゼーションを可能にする。
• 力学系におけるリャプノフ関数、錐条件、検証付き数値計算を統合するフレームワークを提供する。

提案手法

• 区間演算を用いて、軌道に沿った二次的リャプノフ関数の時間微分に関連する行列 A(z) の負定値性を厳密に検証する（段階1）。
• 平衡点を含まない領域では、検証付き数値積分を用いて、解軌道に沿って dL/dt < 0 を直接計算・検証する（段階2）。
• 固定点におけるヤコビ行列を用いて、関連行列 A(z) を定義し、その負定値性が双曲性および平衡点の局所的一意性を示す。
• 離散系へも応用するため、リャプノフ関数の増分に関連する行列 B(z) の厳密な負定値性を検証する。
• リャプノフ関数値を用いた軌道の再パラメータリゼーションを適用し、有限および無限時間区間における漸近的ダイナミクスの追跡を可能にする。
• 検証付き数値ソルバーやドメイン分割を用いて、固定点の近傍を越えてリャプノフ領域を拡大する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 流れと写像の双曲的平衡点の周囲で、コンピュータ支援的手法を用いて、明示的リャプノフ関数を体系的に構築・検証する方法は何か？
• RQ2 関連行列 A(z) の負定値性と、力学系理論で用いられる古典的錐条件との関係は何か？
• RQ3 行列の定値性に続く直接微分計算という二段階検証手順を用いることで、平衡点の直近の近傍を越えてリャプノフ領域を拡張できるか？
• RQ4 本手法は、漸近的挙動の解析を向上させるために、リャプノフ関数値を用いた軌道の再パラメータリゼーションをどのように可能にするか？
• RQ5 固有値が虚軸に近い（流れの場合）または単位円に近い（写像の場合）領域では、本手法の限界は何か？

主な発見

• dL/dt に関連する行列 A(z) の負定値性は、安定・不安定多様体の錐条件と同等であり、漸近的解析の統一的枠組みを提供する。
• 段階1の行列定値性による検証により、双曲的平衡点の局所的一意性が保証され、リャプノフ関数の有効性の十分条件が得られる。
• 段階2により、段階1に失敗する領域、特に平衡点から離れた領域でもリャプノフ領域を拡張可能である。
• 区間演算を用いた検証付き数値計算により、連続的および離散的両システムにおけるリャプノフ関数の妥当性が成功裏に検証された。
• リャプノフ関数値を用いた軌道の再パラメータリゼーションにより、爆発などの特異挙動を含む漸近的ダイナミクスの追跡が可能になった。
• 固有値の実部が0に近い（流れの場合）または絶対値が1に近い（写像の場合）固有方向では、数値的に困難な状況に陥る。