[論文レビュー] On the construction of renormalized gauge theories using renormalization group techniques

C. Becchi|ArXiv.org|Jul 24, 1996

Particle physics theoretical and experimental studies参考文献 6被引用数 39

ひとこと要約

本稿は、ウィルソンの摂動的正則化群（WRG）手法を用いて、自己完備な摂動的正則化ゲージ理論の構成を提示し、ウィルソンの短距離展開および量子作用原理の有効性を示している。また、運動量カットオフによって引き起こされるゲージ対称性の破れが、非ゲージ不変な補正項によって相殺可能であることを証明し、反復的な微調整方程式の解法により、$SU(2)$ヤン・ミルズ理論が量子論的に整合的であることを保証している。

ABSTRACT

The aim of these lectures is to describe a construction, as self-contained as possible, of renormalized gauge theories. Following a suggestion of Polchinski, we base our analysis on the Wilson renormalization group method. After a discussion of the infinite cut-off limit, we study the short distance properties of the Green functions verifying the validity of Wilson short distance expansion. We also consider the problem of the extension to the quantum level of the classical symmetries of the theory. With this purpose we analyze in details the breakings induced by the cut-off in a $SU(2)$ gauge symmetry and we prove the possibility of compensating these breakings by a suitable choice of non-gauge invariant counter terms.

研究の動機と目的

• ウィルソンの正則化群法を用いて、摂動的正則化ゲージ理論の厳密で自己完備な構成を提供すること。
• 運動量カットオフが存在する状況下で、グリーン関数に対するウィルソンの短距離展開の有効性を確立すること。
• 運動量カットオフに起因する対称性破れが非ゲージ不変な補正項によって補償可能であることを示すことにより、ゲージ理論における量子異常問題を解決すること。
• 有効作用の微調整方程式の反復的可解性を証明し、量子理論の正則化可能性と整合性を保証すること。
• 量子作用原理およびBRSコホロロジー技術が、カットオフ正則化されたゲージ理論における対称性構造を体系的に分析するために用いられることを示すこと。

提案手法

• ポルチンスキーのWRGフレームワークを採用し、運動量カットオフを含む関数的積分として有効作用を定式化し、収束を保証するためユークリッド経路積分を用いる。
• 有効作用を$\hbar$のべき級数に展開し、$n$次項は、整合性条件$\mathcal{D} \mathcal{T}D_{\text{eff}}^{(n)} = 0$から導かれる微調整方程式により反復的に決定する。
• ニルポテン（nilpotent）なBRS作用素$\mathcal{D}$を用いてゲージ対称性を特徴付け、整合性条件をコホモロジー問題に還元する：$\mathcal{D} \mathcal{T}D_{\text{eff}}^{(n)} = 0$は$\mathcal{T}D_{\text{eff}}^{(n)} = \mathcal{D} \overline{\mathcal{T}S_{\text{eff}}}^{(n)}$を意味し、解の存在を保証する。
• 微調整方程式は$\mathcal{T}S_{\text{eff}}^{(n)} = -\Sigma_n$と設定することで解かれる。ここで$\Sigma_n$は低次の項から構成される局所的汎関数であり、異常項のキャンセルを保証する。
• この手法はBRSコホモロジーの構造に依存しており、整合性条件の可解性は、ある種のコホモロジー類の自明性に帰着され、$SU(2)$モデルに対して明示的に検証されている。
• 伝統的なフェニマン図の集合や次元正則化を避ける代わりに、運動量カットオフとWRGフロー方程式の反復的解法を用いることで、明示的な局所性とゲージ構造の維持を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ウィルソン正則化群法を用いて、フェニマン図の技法に依存せずに、自己完備な摂動的正則化ゲージ理論を構築可能か？
• RQ2 カットオフ正則化された量子場理論において、グリーン関数の短距離展開をどのように厳密に確立できるか？
• RQ3 運動量カットオフに起因するゲージ対称性の破れが、ヤン・ミルズ理論において非ゲージ不変な補正項によってどの程度補償可能か？
• RQ4 量子作用原理はWRGフレームワーク内で導出可能か？また、ゲージ理論の正則化構造を分析するために用いることができるか？
• RQ5 BRSコホモロジーは、カットオフ正則化されたゲージ理論における微調整手順の整合性を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• 運動量カットオフ正則化枠組みにおいて、ウィルソンの短距離展開が厳密に検証され、グリーン関数の短距離挙動を分析する役割が確認された。
• 有効作用の微調整方程式は反復的に可解であり、$\mathcal{T}S_{\text{eff}}^{(n)} = -\Sigma_n$が$\hbar$の各次数で一貫した解を与える。
• 運動量カットオフに起因する$SU(2)$ゲージ対称性の破れは、特定の非ゲージ不変な補正項の選択により補償され、理論の量子的整合性が保たれる。
• 整合性条件$\mathcal{D} \mathcal{T}D_{\text{eff}}^{(n)} = 0$は$\mathcal{T}D_{\text{eff}}^{(n)} = \mathcal{D} \overline{\mathcal{T}S_{\text{eff}}}^{(n)}$に同値であり、コホモロジー類の自明性に帰着される。
• 量子作用原理が導出され、$SU(2)$ヤン・ミルズモデルに適用され、量子論的レベルでの対称性構造を分析する有効性が示された。
• 本手法により、微調整方程式の可解性が、ある種のBRSコホモロジー類の自明性に等しいことが示され、ゲージ理論における正則化のコホモロジー的基盤が確立された。