[論文レビュー] On the Containment Problem for Unambiguous Single-Register Automata with Guessing

Antoine Mottet, Karin Quaas|arXiv (Cornell University)|May 28, 2019

semigroups and automata theory参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、推測を伴う非一意的でない単一レジスタレジスタオートマトン（GURA）の包含問題の決定可能性を確立する。一般のGURA 𝒜 と非一意的でない単一レジスタGURA 𝒷 が与えられたとき、言語包含 L(𝒜) ⊆ L(𝒷) がEXPSPACEで決定可能であることを証明する。主な洞察は、非一意的オートマトンの構造的性質と、同期化された構成の縮退機構を活用し、状態空間探索の上限を設定することにある。

ABSTRACT

Register automata extend classical finite automata with a finite set of registers that can store data from an infinite data domain for later equality comparisons with data from an input data word. While the registers in the original model of register automata, introduced in 1994 by Kaminski and Francez, can only store data occurring in the data word processed so far, we study here the more expressive class of register automata with guessing, where registers can nondeterministically take any value from the infinite data domain, even if this data does not occur in the input data word. It is well known that the containment problem, i.e., the problem of deciding for two given register automata with guessing A and B, whether the language L(A) accepted by A is contained in the language L(B) accepted by B, is undecidable, even if B only uses a single register. We prove that the problem is decidable if B is unambiguous and uses a single register.

研究の動機と目的

• 推測を伴うレジスタオートマトンにおける包含問題 L(𝒜) ⊆ L(𝒷) の決定可能性を解明すること。ここで 𝒷 は非一意的であり、単一のレジスタを用いる。
• 特に閉包性質と表現力のあるオートマトンモデルにおける包含関係に関して、形式的検証分野における中心的未解決問題に取り組むこと。
• 一般にGURAにおける包含問題が決定不能であるにもかかわらず、非一意的でない性質と単一レジスタ制約を満たす非自明な決定可能部分集合を同定することで、レジスタオートマトンにおける決定可能性の境界を拡張すること。
• 非一意的かつ単一レジスタ制約下での包含問題に対する複雑性上界（EXPSPACE）を提供すること。

提案手法

• 包含検査中に二つのオートマトン 𝒜 と 𝒷 の共同挙動を追跡するため、同期化構成の概念を導入する。
• 到達可能な状態が何らかのデータワードによってシミュレート可能であることを捉えるために、「本質的に被覆可能」と定義された構成を定義する。これにより、上限付きの解析が可能になる。
• 特定の条件下でデータ値を統合することで、構成を縮退させる機構を適用し、到達可能性の性質を保持する。
• 部分同型を用いてデータ値の入れ替えをシミュレートし、構造的変換下でも被覆可能性が保持されることを保証する。
• 最大に縮退された構成の有限グラフを構築する。そのサイズは、k 個のレジスタと |ℒ| 個の状態に対して 2^{k log(k) 2^{|ℒ|}} で上限づけられる。
• 包含問題をこの有限グラフ内の到達可能性問題に還元し、指数時間空間で決定可能であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の場合に決定不能であるにもかかわらず、非一意的でない単一レジスタレジスタオートマトンに推測を伴う場合、包含問題は決定可能か？
• RQ2 非一意的および単一レジスタ使用という構造的制約が、包含問題に対する複雑性上界付きの解法を可能にするか？
• RQ3 これらの制約下での包含問題の正確な複雑性クラスは何か？
• RQ4 到達可能性を保持し、かつ決定可能性を可能にする構成の有限抽象化を構築できるか？

主な発見

• 𝒜 が任意であっても、𝒷 が非一意的で単一レジスタを用いる場合、包含問題 L(𝒜) ⊆ L(𝒷) は決定可能である。
• 問題はEXPSPACEに属し、この決定可能部分集合に対するタイトな複雑性上界が確立された。
• 最大に縮退された構成の数は、漸近的に 2^{k log(k) 2^{|ℒ|}} で上限づけられ、これは状態数に関して二重指数的である。
• 縮退機構により、悪い構成への到達可能性がデータ値の抽象化を通じて保持され、有限状態解析が可能になる。
• 証明は、部分同型を用いた被覆性の新規特徴付けと、構成における構造的不変量に依存している。
• 結果として、非一意的GURAの閉包性質、特に補集合に関する長年の未解決問題に対して肯定的な答えが得られた。