[論文レビュー] On the continued fraction expansion of absolutely normal numbers

Adrian-Maria Scheerer|arXiv (Cornell University)|Jan 27, 2017

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、Sierpińskiの手法と混合過程における大偏差理論に基づく再帰的ビット単位の構築を用いて、連分数展開がガウス＝クズミン測度に関して正規である explicitly computable な絶対正規数を構成する。主な貢献は、同時に絶対正規かつ連分数正規である数の初めての明示的構成である。

ABSTRACT

We construct an absolutely normal number whose continued fraction expansion is normal in the sense that it contains all finite patterns of partial quotients with the expected asymptotic frequency as given by the Gauss-Kuzmin measure. The construction is based on ideas of Sierpinski and uses a large deviations theorem for sums of mixing random variables.

研究の動機と目的

• 絶対正規かつ連分数正規である数の構成という未解決問題を解消すること。
• 再帰的2進桁選択を用いた構成的で計算可能なアルゴリズムを提供すること。
• 混合過程における大偏差理論を用いて、連分数正規性における測度論的偏差を制御すること。
• 所望の不変集合において全測度を保ちつつ、非正規集合を避けること。
• アルゴリズムが同時に絶対正規性とガウス＝クズミン正規性を満たす数を生成することを示すこと。

提案手法

• 初期区間 [0,1) を用い、各ステップで2等分することで2進桁を決定する再帰的区間選択プロセスを [0,1) に適用する。
• 連分数正規性を保証するために、部分商の成長が制御された大規模な全測度集合 Ω を定義する。
• 非正規数を含む小さな誤差集合 E を構築し、λ(E) < β を満たす（β > 0 とする）。
• ガウス＝クズミン測度における偏差を制御するために、混合確率変数の和に対する大偏差推定を適用する。
• 計算可能性を確保するため、有限近似 Ω_N と E_k を用い、誤差境界 ω_N と r_k を導入する。
• 各ステップで (Ω_N \ E_k) との共通部分集合の測度が最大となる区間を選択し、最終的な集合に正の測度を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ガウス＝クズミン測度に関して正規である連分数展開を持つ絶対正規数を明示的に構成することは可能か？
• RQ2 すべての整数基数で正規かつ連分数正規であるような、再帰的かつ計算可能なアルゴリズムを設計することは可能か？
• RQ3 混合過程における大偏差理論を用いて、連分数正規性における測度論的偏差を制御することは可能か？
• RQ4 所望の正規数の集合において全測度を保ちつつ、構成を計算可能にするにはどうすればよいか？
• RQ5 絶対正規かつ連分数正規である数が存在し、かつそれをアルゴリズム的に生成可能か？

主な発見

• 本稿では、(Ω_N \ E_k) における測度が最大となる区間を選択することで、再帰的に2進展開が生成される計算可能な実数 ν を構成する。
• 構成された数 ν は絶対正規であり、任意の整数基数 b ≥ 2 に対して単純正規である。
• ν の連分数展開はガウス＝クズミン測度に関して正規であり、すべての有限の部分商のパターンが期待される頻度で出現する。
• 各ステップで λ((Ω \ E) ∩ c_i) > 0 が保証され、選択された区間内にこのような数が存在することを保証する。
• 各2進桁が基本的な算術演算と比較を用いた有限計算によって決定可能であるため、アルゴリズムは計算可能である。
• 証明は、連分数正規性が失敗する集合の測度を制御する大偏差推定に依存しており、誤差集合 E が小さくても正の測度を持つことを保証する。