[論文レビュー] On the continuity and regularity of convex extensions

Orest Bucicovschi, Jiř́í Lebl|arXiv (Cornell University)|Dec 28, 2010

Quantum Information and Cryptography参考文献 6被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、コン pact な集合 C からその凸包 K への凸包構成による連続性および C¹ 正則性の必要十分条件を確立する。C が K の相対的境界を含み、f が C 上で連続的かつ凸であるならば、f は K 上に連続的に拡張可能である。さらに、拡張の C¹ 正則性は、境界上に非鉛直な接する超平面が存在することによって特徴づけられる。これらの結果は、連続的エンタングルメント測度の凸包拡張の連続性を保証するなど、量子もつれの測度への応用が行われる。

ABSTRACT

We study continuity and regularity of convex extensions of functions from a compact set $C$ to its convex hull $K$. We show that if $C$ contains the relative boundary of $K$, and $f$ is a continuous convex function on $C$, then $f$ extends to a continuous convex function on $K$ using the standard convex roof construction. In fact, a necessary and sufficient condition for $f$ to extend from any set to a continuous convex function on the convex hull is that $f$ extends to a continuous convex function on the relative boundary of the convex hull. We give examples showing that the hypotheses in the results are necessary. In particular, if $C$ does not contain the entire relative boundary of $K$, then there may not exist any continuous convex extension of $f$. Finally, when the boundary of $K$ and $f$ are $C^1$ we give a necessary and sufficient condition for the convex roof construction to be $C^1$ on all of $K$. We also discuss an application of the convex roof construction in quantum computation.

研究の動機と目的

• コン pact な集合 C 上で定義された連続的凸関数が、その凸包 K に連続的に拡張可能となる必要十分条件を特定すること。
• 特に K の境界上の接する超平面との関係において、凸包拡張が C¹ 正則となる条件を特徴づけること。
• 元の定義域が相対的境界の真部分集合であるような場合を含め、凸集合の境界から内部への凸関数の拡張問題を解決すること。
• 理論的結果を量子情報理論に応用し、特にもつれ測度の凸包拡張の連続性を検討すること。
• 純粋な量子状態におけるもつれの測度の連続性が、混合状態への凸包拡張の連続性を保証することを示すこと。

提案手法

• 凸包構成は、集合 C からその凸包 K への関数の最大凸拡張を定義する標準的手法として用いられる。
• K の相対的内部および相対的境界を用いて、拡張のための位相的・幾何的条件を定義し、特に bd(K) が拡張過程において果たす役割に注目する。
• サブ勾配解析および接する超平面を用いて、拡張の C¹ 正則性を特徴づけ、微分可能性と境界点における非鉛直接する超平面の存在を結びつける。
• 主要な技術的ツールとして、K の相対的境界を拡張の定義域とし、f が bd(K) に連続的に拡張可能でなければならないことが、K 上での連続的拡張のための条件である。
• 理論的結果を量子力学に応用するため、混合量子状態の集合をコン pact 凸集合とし、純粋状態をその相対的境界と特定する。
• エンタングルド状態のシュミット分解およびトレースクラス作用素の性質を用いて、もつれ測度およびその凸包拡張を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コン pact 凸包 K の部分集合 C に含まれる連続的凸関数が、凸包構成によって K 全体に連続的に拡張可能となる条件は何か？
• RQ2 凸包拡張が K の相対的内部で C¹ スムーズとなる正確な条件は何か？
• RQ3 K の相対的境界の真部分集合に定義された凸関数でも、K に連続的凸拡張が可能となるか？
• RQ4 境界点に非鉛直接する超平面が存在することは、凸包拡張の C¹ 正則性とどのように関係するか？
• RQ5 純粋な量子状態の集合上でもつれ測度が連続的であると、その凸包拡張が混合状態の集合に対しても連続的であると保証されるか？

主な発見

• C が K の相対的境界を含み、f が C 上で連続的かつ凸であるならば、f の凸包拡張は K 上で連続的である。
• 関数 f がコン pact な集合 C 上で定義されるとき、f が K の相対的境界に連続的に拡張可能であることは、f が K に連続的に拡張可能であるための必要十分条件である。
• 凸包拡張が K の相対的内部で C¹ であることは、f が K の相対的境界の各点で非鉛直接する超平面を持つことと同値である。
• 厳密に凸である集合 K に対しては、bd(K) 上の任意の連続関数が、凸包構成によって K に連続的に拡張可能である。
• 量子力学において、純粋状態上で定義された任意の連続的もつれ測度は、凸包構成によってすべての混合状態に連続的に拡張可能である。
• 明示的な式がなくても、本稿は連続的もつれ測度の凸包拡張が連続的であることを確立し、量子情報理論における重要な問題を解決する。