[論文レビュー] On the Control of Density-Dependent Stochastic Population Processes with Time-Varying Behavior

Yingdong Lu, Mark S. Squillante+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 23, 2017

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、時間変動する密度依存確率的集団過程の平均場極限を確立し、非自己同型力学系への収束を示している。さらに、確率的過程の最適制御が漸近的に制限された力学系の最適制御に収束することを証明しており、古典的結果を厳密な技術的分析とともに時間変動パラメータへと拡張している。

ABSTRACT

The study of density-dependent stochastic population processes is important from a historical perspective as well as from the perspective of a number of existing and emerging applications today. In more recent applications of these processes, it can be especially important to include time-varying parameters for the rates that impact the density-dependent population structures and behaviors. Under a mean-field scaling, we show that such density-dependent stochastic population processes with time-varying behavior converge to a corresponding dynamical system. We analogously establish that the optimal control of such density-dependent stochastic population processes converges to the optimal control of the limiting dynamical system. An analysis of both the dynamical system and its optimal control renders various important mathematical properties of interest.

研究の動機と目的

• 時間変動する遷移率を有する密度依存確率的集団過程を分析し、静的パラメータを超えて古典的モデルを拡張すること。
• このような過程の平均場極限を確立し、スケーリング下で連続状態の非自己同型力学系への収束を証明すること。
• 確率的過程の最適制御を検討し、制限された力学系の最適制御とその漸近的同等性を示すこと。
• 制限された非自己同型系における平衡点、安定性、漸近的挙動といった数学的性質を導出すること。
• 時間変動ダイナミクスを示す複雑で大規模なシステム、例えばネットワーク、流行病、金融システムの制御の理論的基盤を提供すること。

提案手法

• 密度依存集団ダイナミクスに適した、時間依存遷移強度を有する連続時間・離散状態のマーカフ過程モデルを形式化する。
• 集団サイズ $ n \to \infty $ の平均場スケーリングを適用し、スケーリングされた過程が常微分方程式で記述される非自己同型力学系に収束することを証明する。
• 生成子解析とモーメント方程式を用いて制限系のダイナミクスを導出し、一次および二次モーメントの収束を示す。
• 時間変動する制御入力を有する確率的最適制御問題を導入し、制御された確率的過程と制御された制限系との間の漸近的同等性を証明する。
• 比較定理（例：グローヴァル型）とリャプノフ安定性解析を用いてモーメントをバインドし、収束速度を確立する。
• ハートマン＝グロブマン定理とリャプノフ関数を用いて、制限された非自己同型系の安定性および長期的挙動を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間変動する遷移率の組み込みが、密度依存確率的集団過程の平均場極限に与える影響は何か？
• RQ2 有限集団の確率的過程の最適制御は、その制限された非自己同型力学系の最適制御に収束するか？
• RQ3 時間変動パラメータ下での制限された非自己同型力学系の平衡点と安定性特性は何か？
• RQ4 時間変動する強度下でのモーメントダイナミクス、特に二次モーメントはどのように振る舞い、どのようなバインドが得られるか？
• RQ5 時間変動係数を有する非自己同型系へ、収束性および安定性に関する古典的結果を拡張できるか？

主な発見

• 平均場スケーリング下で、スケーリングされた密度依存確率的過程は、時間変動する遷移率が存在しても、非自己同型力学系への分布収束を示す。
• 集団サイズ $ n \to \infty $ の下で、確率的過程の最適制御は、制限された力学系の最適制御に漸近的に一致し、極限において同等性が確立される。
• 二次モーメント $ \mathbb{E}[Y_n(t)^2] $ に対するバインドが導出され、時間変動するレートと $ 1/n $ に依存する関数 $ w_n(t) $ によって一様に有界であることが示され、$ L^2 $ 収束を示している。
• 一次モーメント $ \mathbb{E}[Y_n(t)] $ は、比較定理を用いて導出される関数 $ z_n(t) $ によって下から有界であることが示され、時間変動パラメータに依存する。
• 時間変動係数により、制限系は複雑な挙動を示し、安定性はリャプノフ関数およびハートマン＝グロブマン定理を用いて分析される。
• 解析により、制限系のダイナミクスが時間依存常微分方程式によって支配されることを確認し、ドリフト関数の連続性およびリプシッツ連続性の標準的仮定の下で収束結果が成立することが示された。