[論文レビュー] On the controllability of some steady states in the case of nonlinear discrete dynamical systems with control

Éva Kaslik, A.M. Balint+2 more|ArXiv.org|Nov 11, 2003

Chaos control and synchronization参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、制御を伴う非線形離散力学系において、解析的経路で接続された2つの漸近安定な定常状態が、成功した制御パラメータの操作の系列によって順次互いに移行可能であることを確立している。主な結果は、リャプノフ関数の吸引域の解析性に依存しており、各中間状態が次の状態の吸引域内にある限り、移行が可能であることを保証する。

ABSTRACT

The main objective of this paper is to show that two asymptotically stable steady states which belong to an analytic path of asymptotically stable steady states can be gradually transferred one to the other by successive changes of the control parameters.

研究の動機と目的

• 制御パラメータを伴う非線形離散力学系における漸近安定定常状態の可逆性を調査すること。
• 解析性とリャプノフ関数理論を活用して、連続系の結果を離散時間系へ拡張すること。
• 制御パラメータの変更の系列が、ある安定定常状態から別の定常状態へシステムを移行可能であるための条件を確立すること。
• リャプノフ関数の自然な解析接続域を用いて、漸近安定固定点の吸引域を特徴づけること。
• 初期状態がターゲット定常状態の吸引域内にある場合に限り、成功した操作が可能であることを示すこと。

提案手法

• 定常状態の解析的経路 φ: D₁ ⊂ D → Ω を用い、すべての α ∈ D₁ に対して φ(α) = f(φ(α), α) を満たす。
• 変数変換 y_k = x_k - φ(α) を適用して、定常状態を原点に移動させ、y=0 の周囲における安定性を解析可能にする。
• 文献[4]の定理に従い、漸近安定固定点の吸引域が、関数方程式 V(g(y)) - V(y) = -||y||² かつ V(0)=0 を満たす解 V の自然な解析接続域と一致することを用いる。
• 操作 α′ → α″ が成功するための必要十分条件として、φ(α′) ∈ DA(φ(α'')) が成り立つことを示す。
• 陰関数定理を用いて、||∂ₓf(x⁰, α⁰)|| < 1 を満たす条件下で、与えられた安定定常状態 (x⁰, α⁰) を通る最大の解析的経路 φ(α) の存在を証明する。
• 逆関数定理を適用して、α⁰ の近傍で経路 φ(α) が解析的かつ一意的であることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 制御を伴う非線形離散力学系において、解析的経路で接続された2つの漸近安定定常状態は、互いに移行可能か？
• RQ2 制御パラメータの変更 α′ → α″ が、ある定常状態から別の定常状態への成功した移行をもたらすための条件は何か？
• RQ3 離散系において、安定固定点の吸引域は、リャプノフ関数の解析接続域とどのように関係するか？
• RQ4 中間状態を通る制御パラメータ変更の系列が、ある安定定常状態から別の定常状態へ移行可能であるための条件は何か？
• RQ5 連続系における可逆性結果を、解析性とリャプノフ関数理論を用いて離散時間系へ拡張可能か？

主な発見

• スペクトルノルム ||∂ₓf(x⁰, α⁰)|| < 1 を満たす限り、任意の安定定常状態 (x⁰, α⁰) の近傍で、漸近安定定常状態の解析的経路が局所的に存在する。
• 安定固定点 x⁰ = φ(α) の吸引域は、関数方程式 V(g(y)) - V(y) = -||y||² を満たし、V(0)=0 を満たすリャプノフ関数 V の自然な解析接続域と一致する。
• 操作 α′ → α″ が成功するための必要十分条件は、初期状態 φ(α′) がターゲット状態 φ(α'') の吸引域内にあることである。
• 例1では、α=1 から α=3 への操作は失敗する（ターゲット状態が不安定であるため）、が、中間の安定状態を経由する移行は可能である。
• 例2では、有限個の成功した操作の系列により、システムが φ₁(0)=0 から φ₁(2)=2 へ移行可能であり、各ステップで吸引域条件が満たされている： 0 ∈ DA(φ₁(0.7))、φ₁(0.7) ∈ DA(φ₁(1.4))、φ₁(1.4) ∈ DA(φ₁(2))。
• 例3では、α=−1 から α=1 への4段階の操作が成功し、システムが (−1,−1) から (1,1) へ移行可能であり、各中間状態が次のターゲットの単位球内に存在する。