[論文レビュー] On the controllability of the Navier-Stokes equation in spite of boundary layers

Jean‐Michel Coron, Frédéric Marbach+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 21, 2017

Stability and Controllability of Differential Equations被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、境界の一部にナビエのすべり摩擦付き境界条件を有する2次元および3次元非圧縮性ナビエ＝ストークス方程式の小時間全域正確ゼロ制御可能性を確立する。境界層の存在にもかかわらず、漸近展開技術と強化拡산効果を組み合わせることで、任意の正の時刻Tで消える弱Leray解を構成し、初期データが境界制御によりゼロに駆り立てられることを証明する。

ABSTRACT

In this proceeding we expose a particular case of a recent result obtained by the authors regarding the incompressible Navier-Stokes equations in a smooth bounded and simply connected bounded domain, either in 2D or in 3D, with a Navier slip-with-friction boundary condition except on a part of the boundary. This under-determination encodes that one has control over the remaining part of the boundary. We prove that for any initial data, for any positive time, there exists a weak Leray solution which vanishes at this given time.

研究の動機と目的

• ジャック＝ルイ・リオンの、ナビエ＝ストークス方程式の小時間全域正確ゼロ制御可能性に関する未解決問題を解決すること。
• 部分境界制御下でのナビエ＝ストークス系における境界層の課題に対処すること。
• 制御されていない境界部がノーサイド条件ではなく、ナビエのすべり摩擦付き条件を満たす場合の可制御性を確立すること。
• 非理想境界条件を有する粘性非圧縮流れにおける制御メカニズムの理解を拡張すること。
• 任意の正の時刻Tにおいて弱Leray解をゼロに駆り立てるための構成的枠組みを提供すること。

提案手法

• 小パラメータεに関する漸近展開を用い、速度場を主要項と高次の成分に分解する。
• 二重スケール展開を導入する：u = u⁰ + εu¹ + v + r^ε、ここでu⁰とu¹は正則化された成分、vは対流場である。
• 射影法による境界層補正を導入し、非同次境界データを補償するための有限次元モーメントを調整する。
• 残差項r^εの制御に強化拡散効果を適用し、粘性項におけるεスケーリングを活用して非線形性を制御する。
• 残差方程式におけるエネルギー推定を用い、‖r^ε(T/ε)‖_{L²} = o(1)を示し、時刻Tにおける消滅を保証する。
• 弱Leray解の存在と、部分境界制御によるシステムの未定義性に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元および3次元非圧縮性ナビエ＝ストークス方程式は、境界の空でない開部分集合における境界制御により、任意の正の時刻Tにゼロに駆り立てられるか。
• RQ2 制御されていない部分にナビエのすべり摩擦付き境界条件が存在する場合でも、境界層の形成を考慮して、全域正確ゼロ制御可能性が成立するか。
• RQ3 強化拡散効果は、ナビエ＝ストークス解の多重スケール漸近展開における残差項を制御するために活用可能か。
• RQ4 任意の初期データu₀ ∈ L²_σ(Ω)に対して、部分境界制御下で時刻Tに消える弱Leray解を構成することは可能か。
• RQ5 ナビエ条件に用いられた戦略は、特に有利な幾何的設定において、より困難なノーサイドケースに拡張可能か。

主な発見

• 本稿は、任意の初期データu₀ ∈ L²_σ(Ω)および任意のT > 0に対して、ナビエ＝ストークス方程式の弱Leray解が時刻Tに消えることを証明する。
• この結果は、2次元および3次元の滑らかで有界かつ単連結な領域において成立し、制御されていない境界部にナビエのすべり摩擦付き条件が適用される。
• 制御は境界の開部分集合Σにおける境界データにより達成され、残りの境界はナビエ条件に従う。
• 漸近展開における残差項r^εは、‖r^ε(T/ε)‖_{L²(Ω)} = o(1)を満たし、時刻Tにおける消滅を保証する。
• 二重スケール展開と強化拡散効果に依存する手法により、残差の安定化と非同次境界データの補償が実現される。
• 初期データの大きさや時定数Tに依存せず、与えられた境界条件下で小時間全域正確ゼロ制御可能性が保証される。