[論文レビュー] On the controllability of the Vlasov-Poisson system in the presence of external force fields

Olivier Glass, Daniel Han-Kwan|arXiv (Cornell University)|May 5, 2011

Gas Dynamics and Kinetic Theory参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、外部力場（有界力および固定方向の2次元磁場を含む）の下でトーラス上におけるVlasov-Poisson系の局所的および大域的可制御性を確立する。自由輸送の場合の技術を拡張することで、制御領域が幾何的条件を満たし、初期状態および最終状態が十分に小さいか、大域的に整合可能な場合、任意の初期および最終分布関数が内部制御によって接続可能であることを証明する。

ABSTRACT

In this work, we are interested in the controllability of Vlasov-Poisson systems in the presence of an external force field (namely a bounded force field or a magnetic field), by means of a local interior control. We are able to extend the results of [7], where the only present force was the self-consistent electric field.

研究の動機と目的

• 自己整合的電場のみの状況から、外部力場を含む系へのVlasov-Poisson系の可制御性結果の拡張を図ること。
• 有界外部力場 $ F \in L^\infty_t W^{1,\infty}_{x,v} $ が系の可制御性に与える影響を分析すること。
• 固定方向を持つ2次元のローレンツ型磁場の下での系の可制御性を調査すること。
• 制御領域 $ \omega $ および初期・最終分布関数に必要な幾何的および正則性条件を特定し、可制御性を達成できることを明らかにすること。
• 局所的内部制御 $ G $ を用いて、状態移行を達成する際、大域的中性および $ L^1 $-質量保存を維持すること。

提案手法

• 外部力 $ F $ の下での特徴線の構造に依存し、自由輸送の場合の幾何的制御戦略を外部力付き系へ拡張する。
• 適切な関数空間 $ \mathcal{S}_\varepsilon $ における固定点法を用いて、時刻 $ T $ で目標分布と一致する解を構成する。
• 速度空間の分解と、$ F $ および自己整合的場の影響下での軌道の挙動に基づく被覆議論を用いる。
• 電場ポテンシャルの勾配 $ \nabla\varphi^f $ に対する推定を適用し、$ F $ の部分線形成長性を用いて高エネルギー領域の挙動を制御する。
• 時間分割戦略を採用し、時間区間を異なる軌道の幾何的性質が利用可能な部分に分割する。
• UkaiとOkabeによる強解の初期値問題理論を、適切な正則性を持つ外部力へ拡張して用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有界外部力場 $ F \in L^\infty_t W^{1,\infty}_{x,v} $ の下で、内部制御を用いてVlasov-Poisson系を制御可能か。
• RQ2 制御領域 $ \omega $ が特定の幾何的条件を満たす限り、任意の次元 $ n \geq 2 $ で大域的可制御性が達成可能か。
• RQ3 $ b(x) $ に適切な幾何的条件が課された場合、固定方向の2次元磁場を伴う系への可制御性結果を拡張可能か。
• RQ4 外部力の存在が特徴線の幾何に与える影響と、系の制御可能性に与える影響は何か。
• RQ5 外部力が存在する場合、初期および最終分布関数 $ f_0, f_1 $ に必要な正則性および減衰条件は何か。

主な発見

• 2次元において、任意の制御領域 $ \omega $ に対して、初期状態 $ f_0 $ および最終状態 $ f_1 $ が重み付き $ L^\infty $ ノルムで $ (1+|v|)^{-\gamma-1} $ の減衰を示し、$ \gamma > 2 $ を満たす限り、局所的可制御性が確立される。
• 任意の次元 $ n \geq 2 $ において、有界外部力に対して大域的可制御性が証明され、制御領域 $ \omega $ が標準的射影下での超平面の像を含む場合に成立する（$ F=0 $ の場合と同様）。
• 2次元磁場 $ F(x,v) = b(x)(v_2, -v_1) $ の場合、$ b(x) $ に幾何的条件が課されれば可制御性が成立し、軌道の十分な混合を保証する。
• 制御 $ G $ は $ \int_{\mathbb{T}^n \times \mathbb{R}^n} \mathbf{1}_\omega G \, dv\,dx = 0 $ を満たすように構成され、大域的中性が保たれる。
• 最終分布 $ f(T, \cdot, \cdot) $ の台は $ \omega \times \mathbb{R}^2 $ に含まれており、制御が空間的に局所化されていることが示唆される。
• 証明は、参照解の近傍における固定点法に依拠し、制御パrameter $ \varepsilon $ に一様な推定が得られるため、目標状態と一致する解の存在が保証される。