[論文レビュー] On the convergence of double Fourier series of functions of bounded partial generalized variation

Ушанги Гогинава, Artur Sahakian|arXiv (Cornell University)|Oct 16, 2012

Approximation Theory and Sequence Spaces被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、有界部分 Λ-変動をもつ関数の二重フーリエ級数の収束について、列 $\Lambda = \{\lambda_n\}$ に対する必要十分条件を確立する。$\lambda_n = n\gamma_n$ で $\gamma_n$ が単調減少かつ $\sum \gamma_n/n = \infty$ を満たすとき、原点で発散する連続関数が $P\Lambda BV$ に属することを示し、部分 Λ-変動のみでは収束のためには不十分であることを示している。

ABSTRACT

The convergence of double Fourier series of functions of bounded partial $Λ$-variation is investigated. The sufficient and necessary conditions on the sequence $Λ=\{λ_n\}$ are found for the convergence of Fourier series of functions of bounded partial $Λ$-variation.

研究の動機と目的

• 関数の有界部分 $\Lambda$-変動をもつ二重フーリエ級数の収束について、列 $\Lambda = \{\lambda_n\}$ に対する厳密な条件を同定すること。
• 特に調和変動の場合（$\lambda_n = n$）において、有界部分 $\Lambda$-変動が二重フーリエ級数の収束を保証するかどうかを調査すること。
• $\sum \gamma_n/n = \infty$ のもとで、連続関数 $f \in P\Lambda BV$ の二重フーリエ級数が発散することを示す明示的反例の構成。
• $P\Lambda BV$ と、Dyachenko と Waterman が導入した $\Lambda^*BV$ などの他の一般化された有界変動クラスとの比較。
• 有界部分 $\Lambda$-変動が、連続関数に対しても二重フーリエ級数の収束を保証しないことを、原点における発散結果を用いて示すこと。

提案手法

• 部分 $\Lambda$-変動が有限である関数のクラス $P\Lambda BV$ を定義する。ここで $\Lambda V(f) = \Lambda V_1(f) + \Lambda V_2(f) < \infty$ であり、$\Lambda V_1$ と $\Lambda V_2$ は片方の変数を固定したときの変動を測る。
• $\gamma_n$ が単調減少で、$\gamma_n = O(\gamma_{n^{1+\delta}})$ を満たすある $\delta > 0$ を用いて、列 $\lambda_n = n\gamma_n$ を用いてフーリエ級数の挙動を分析する。
• dyadic 矩形 $A_{i,j}$ 上で符号付き正弦積の和として連続関数 $f_N(x,y)$ を構成する。その振幅は $t_j = \left(\sum_{i=1}^{m_j} \frac{1}{\lambda_j}\right)^{-1}$ で、$m_j = [j^{1+\delta}]$ である。
• 補題1（並べ替え不等式）を用いて、変動半ノルム $\Lambda V_1(f_N)$ と $\Lambda V_2(f_N)$ を評価し、それらが1で一様に有界であることを示す。
• Banach-Steinhaus の定理を用いて、$(0,0)$ で二重フーリエ級数の平方部分和が発散する連続関数 $f \in P\Lambda BV$ の存在を示す。
• 積分表現を用いて $(0,0)$ における二重フーリエ部分和を推定し、$\sum_{j=1}^{N_\delta} \frac{\gamma_j}{j}$ のオーダーで増大することを示す。この和は条件 $\sum \gamma_j/j = \infty$ のもとで無限大に発散する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関数 $f \in P\Lambda BV$ の二重フーリエ級数の収束について、列 $\Lambda = \{\lambda_n\}$ に必要な十分条件は何か？
• RQ2 有界部分 $\Lambda$-変動は、連続関数の二重フーリエ級数の収束を保証するか？
• RQ3 $\sum \gamma_n/n < \infty$ の条件を弱めるか、取り除くことは可能か？特に $\lambda_n = n\gamma_n$ の場合に有効か？
• RQ4 $P\Lambda BV$ と Dyachenko と Waterman が導入したクラス $\Lambda^*BV$ との収束性に関する比較は？
• RQ5 四分岐極限の存在が二重フーリエ級数の収束を保証するか？また、これは $\Lambda^*BV$ 条件とどのように関係するか？

主な発見

• もし $\lambda_n = n\gamma_n$ で $\gamma_n$ が単調減少かつ $\sum \gamma_n/n < \infty$ ならば、$P\Lambda BV \subset HBV$ であり、二重フーリエ級数が収束することを示す。
• $\gamma_n = O(\gamma_{n^{1+\delta}})$ を満たすある $\delta > 0$ かつ $\sum \gamma_n/n = \infty$ ならば、$P\Lambda BV \not\subset HBV$ であり、一般には収束しない。
• $\sum \gamma_n/n = \infty$ のもとで、連続関数 $f \in P\Lambda BV$ が存在し、その二重フーリエ級数の平方部分和が原点 $(0,0)$ で発散することを示す。
• 発散は、$P\Lambda V$-ノルムが一様に有界だが、$(0,0)$ でのフーリエ部分和が発散する $f_N$ の構成と Banach-Steinhaus の定理を用いて示される。
• $(0,0)$ における部分和の増大度は $\sum_{j=1}^{N_\delta} \frac{\gamma_j}{j}$ と推定され、$N \to \infty$ のとき無限大に発散する。発散が確認される。
• この結果により、有界部分 $\Lambda$-変動は、連続関数に対しても二重フーリエ級数の収束を保証しないことが示され、$HV_{1,2}(f) < \infty$ が収束のための必要条件であることが判明する。