[論文レビュー] On the convergence of multi-level Hermite-Padé approximants for a class of meromorphic functions

L. G. González Ricardo, G. López Lagomasino+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 22, 2020

Mathematical functions and polynomials参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、実係数をもつニキシーン系の有理関数的摂動によって得られるメロモルフィック関数に対する多段階エルミート・パデ近似の収束性を確立する。コンパクト集合上で特徴的多項式の台および零点から離れた領域において幾何的収束速度を示し、ポテンシャル論および直交多項式の道具を用いて、マークフ・およびスタイエリュス型定理をこの関数類に拡張する。

ABSTRACT

The present paper deals with the convergence properties of multi-level Hermite-Padé approximants for a class of meromorphic functions given by rational perturbations with real coefficients of a Nikishin system of functions, and study the zero location of the corresponding multiple orthogonal polynomials.

研究の動機と目的

• 有理的摂動によって得られるニキシーン系の多段階エルミート・パデ近似に対するマークフおよびスタイエリュス型収束定理を拡張すること。
• このような摂動系に関連する多重直交多項式の零点分布を分析すること。
• 近似式の台および極を除く拡張された複素平面のコンパクト集合における一様収束を確立すること。
• ポテンシャル論的道具および極値問題を用いて収束速度の定量的推定を提示すること。

提案手法

• 研究は、ニキシーン系における測度のコーシー変換を含む多項式方程式系によって定義される多段階エルミート・パデ近似を用いる。
• 近似式および関連多項式の漸近的挙動を分析するために、逆ニキシーン系を導入する。
• 収束解析は、最後の区間の凸包の補集合から単位円盤の外部へのコンformal写像である関数 $ \varphi_{\infty} $ の使用に依存する。
• 収束式およびその比のノルムの境界を用いて、曲線 $ \gamma_{\rho} $（$ \rho < 1 $）上で最大値の原理を適用し、減衰推定を得る。
• 近似式の極の位置を決定する特徴的多項式 $ T(z) $ を用い、収束速度の連続性モジュラス $ \delta(\mathcal{K}) $ を定義する。
• コンパクト集合 $ \mathcal{K} $ において、比 $ a_{n,j}/a_{n,m} $ が $ \widehat{s}_{m,j+1} $ に一様に収束することに着目し、その収束速度は $ \delta(\mathcal{K}) \|\varphi_{\infty}\|_{\mathcal{K}} $ に支配されることを活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有理的摂動によって得られるニキシーン系のメロモルフィック関数に対する多段階エルミート・パデ近似が収束する条件は何か？
• RQ2 複素平面上における関連する多重直交多項式の零点は、漸近的にどのように振る舞うか？
• RQ3 台および極を除く複素平面のコンパクト集合における近似式の収束の正確な速度は何か？
• RQ4 このような近似式に対して幾何的収束速度を確立できるか？また、その速度は台の幾何構造および摂動にどのように依存するか？
• RQ5 逆ニキシーン系は近似式の収束性にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 多段階エルミート・パデ近似式は、コンパクト集合 $ \mathcal{K} \subset \overline{\mathbb{C}} \setminus (\Delta_m \cup \{z: T(z) = 0\}) $ において一様収束し、その極限は有理的摂動によって定義されるメロモルフィック関数である。
• 収束速度は幾何的であり、誤差ノルムの $ n $ 乗根について $ \limsup_{n \to \infty} \left\| \frac{a_{n,j}}{a_{n,m}} - \widehat{s}_{m,j+1} \right\|_{\mathcal{K}}^{1/n} \leq \delta(\mathcal{K}) \|\varphi_{\infty}\|_{\mathcal{K}} $ を満たす。
• 近似式の極を主に決定する多項式 $ a_{n,m} $ の零点は、$ n \to \infty $ のとき特徴的多項式 $ T(z) $ の零点に収束する。
• 十分に大きな $ n $ に対して、多項式 $ a_{n,m} $ は $ \Delta_m $ の外側に正確に $ D $ 個の零点を持ち、これらは $ \Delta_m $ および $ T(z) $ の零点集合から離れた任意のコンパクト集合 $ \mathcal{K} $ に対して一様に有界である。
• 近似式の収束は $ \mathcal{K} $ において一様であり、誤差は $ \delta(\mathcal{K}) $ によって制御され、これは集合の容量および関数 $ \varphi_{\infty} $ に関連する量である。
• 生成測度がスタールおよびトティクスの意味で正則である場合、より精密な収束推定が得られると予想されるが、これは今後の研究に委ねられている。