[論文レビュー] On the coordinate (in)dependence of the formal path integral

Theo Johnson-Freyd|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2010

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、量子場の理論における形式的経路積分が、曲がったファイバー束上の座標の選び方に依存しないことを証明している。これは、選択されたファイバー方向の体積形式にのみ依存する。フェยマン図式と座標に依存しない正則化スキームを用いて、体積を保存する座標変換が、非線形場理論で測度依存性が曖昧になる場合でも、経路積分の値を変えないことを示している。

ABSTRACT

When path integrals are discussed in quantum field theory, it is almost always assumed that the fields take values in a vector bundle. When the fields are instead valued in a possibly-curved fiber bundle, the independence of the formal path integral on the coordinates becomes much less obvious. In this short note, aimed primarily at mathematicians, we first briefly recall the notions of Lagrangian classical and quantum field theory and the standard coordinate-full definition of the "formal" or "Feynman-diagrammatic" path integral construction. We then outline a proof of the following claim: the formal path integral does not depend on the choice of coordinates, but only on a choice of fiberwise volume form. Our outline is an honest proof when the formal path integral is defined without ultraviolet divergences.

研究の動機と目的

• 非線形（曲がったファイバー束）場理論における形式的経路積分の座標不変性を確立すること。
• 非線形場理論を量子化する際の測度依存性の曖昧さを解消すること。
• 形式的経路積分が、局所座標ではなく、ファイバー方向の体積形式にのみ依存することを示すこと。
• 曲がった配置空間を持つ無限次元場理論におけるフェイマン図式の厳密な基礎を提供すること。

提案手法

• 有限次元における振動的積分の漸近展開にフェイマン図式的手法を用いる。
• 形式的パラメータ ℏ を用いた停留位相近似により、経路積分を形式的べき級数として定義する。
• 臨界点の近傍で体積を保存する座標チャートを課して、測度不変性を保証する。
• 体積を保存する微分同相写像に対して、変数変換マップのトレースが消えるという事実に依存する。
• 図式的寄与が O(e²) まで、そのような変換に対して不変であることを示す。
• 図式的寄与の和における非不変項のキャンセルを示すために、トレース条件 tr{T_fiber Q}(v ↦ e^{(1)}(q)·v) = 0 を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形場理論における形式的経路積分は、ファイバー束上の局所座標の選び方に依存するか？
• RQ2 経路積分は座標に依存しない形で定義可能であり、その場合に必要な構造は何か？
• RQ3 体積を保存する座標変換は、経路積分のフェイマン図式展開にどのように影響するか？
• RQ4 ファイバー方向の体積形式は、座標不変性を保証するために果たす役割は何か？
• RQ5 紫外発散が、形式的経路積分における座標不変性の唯一の障害であるか？

主な発見

• 形式的経路積分は、ファイバー束上の体積を保存する座標変更に対して不変である。
• 経路積分は、局所座標ではなく、ファイバー方向の体積形式の選択にのみ依存する。
• トレース条件 tr{T_fiber Q}(v ↦ e^{(1)}(q)·v) = 0 により、図式的展開における非不変項のキャンセルが保証される。
• O(e²) 次の図式的寄与は、2つの体積を保存する座標系において同一であり、この次数まででの不変性が証明される。
• 形式的経路積分が適切に定義され、標準的なフェイマン図式の恒等式を満たす限り、この結果は成り立つ。
• 標準的な測度の選択が曖昧になる非線形場理論に対しても、この構成は有効である。