[論文レビュー] On the Corank of Gaussian Maps for General Embedded K3 Surfaces

Ciro Ciliberto, Angelo Felice Lopez+1 more|ArXiv.org|Nov 15, 1994

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、S×S の対角に沿った blown-up 上における Kawamata-Viehweg の消失定理への還元により、一般の埋め込まれた K3 表面におけるガウス写像 Φ の余ランクを計算する。主な結果として、i ≥ 2 かつ g ≥ 2、および i = 1 かつ g ≥ 17 の場合に Φ が全射であることが示され、超平面因子が3つのブリタニア的にアーモニックな因子に分解できる条件のもとで、K3 表面の幾何学とその埋め込みに関する基礎的結果を確立する。

ABSTRACT

Let $S_{g}$ be a general prime K3 surface in $P^g$ of genus $g \geq 3$ or a general double cover of $P^2$ ramified along a sextic curve for $g = 2$ and $S = S_{i,g}$ its {\it i}-th Veronese embedding. In this article we compute the corank of the Gaussian map $Φ:\bigwedge^2 H^0(S,O_S(1)) o H^0(S,Ω_S^1(2))$ for $i \geq 2, g \geq 2$ and $i=1, g \geq 17$. The main idea is to reduce the surjectivity of $Φ$ to an application of the Kawamata-Viehweg vanishing theorem on the blow-up of $S imes S$ along,the diagonal. This is seen to apply once the hyperplane divisor of the K3 surface $S$ can be decomposed as a sum of three suitable birationally ample divisors. We show that such a decomposition exists when $i \geq 3$ or on some K3 surfaces, constructed using the surjectivity of the period mapping, when $i = 1, g \geq 17$ or $i=2, g \geq 7$.

研究の動機と目的

• 一般の埋め込まれた K3 表面に対して、ガウス写像 Φ: ⋀²H⁰(S, O_S(1)) → H⁰(S, Ω¹_S(2)) の余ランクを特定すること。
• 特に K3 表面の Veronese 埋め込みにおけるガウス写像の全射性を確立するための条件を特定すること。
• ガウス写像の全射性問題を、S×S の対角に沿った blown-up 上における Kawamata-Viehweg の消失定理の適用に還元すること。
• 超平面因子が3つの適切なブリタニア的にアーモニックな因子に分解できる場合に、その全射性が成立することを示すこと。
• 周期写像の全射性と K3 表面の構成を用いて、i=1 かつ g≥17、および i=2 かつ g≥7 の場合にその結果を拡張すること。

提案手法

• ガウス写像 Φ の全射性を、S×S の対角に沿った blown-up 上における Kawamata-Viehweg の消失定理への還元。
• 特異点の解消を blown-up を用いて構成し、制御された幾何的設定で消失定理を適用する。
• K3 表面の高次元埋め込みを分析するための Veronese 埋め込み (i ≥ 1) の使用。
• 消失定理の適用のための主要な技術的条件として、超平面因子を3つのブリタニア的にアーモニックな因子に分解すること。
• i=1 かつ g≥17、および i=2 かつ g≥7 の場合に、周期写像の全射性を用いて、必要な因子分解を持つ K3 表面の構成を行う。
• 代数幾何学における幾何的・コhomオロジカルな手法による、このような分解の存在の検証。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の埋め込まれた K3 表面に対して、ガウス写像 Φ: ⋀²H⁰(S, O_S(1)) → H⁰(S, Ω¹_S(2)) が全射となる条件は何か？
• RQ2 i ≥ 2 かつ g ≥ 2 の場合に、Veronese 埋め込みにおける K3 表面のガウス写像の余ランクを計算できるか？
• RQ3 超平面因子が3つのブリタニア的にアーモニックな因子に分解できるということは、ガウス写像の全射性を意味するか？
• RQ4 i=1 かつ g≥17 の場合、周期写像の全射性と因子分解を用いてガウス写像の全射性を確立できるか？
• RQ5 一般の K3 表面が Veronese 埋め込み (i ≥ 1) によって埋め込まれた場合、ガウス写像の正確な余ランクは何か？

主な発見

• i ≥ 2 かつ g ≥ 2 の場合、ガウス写像 Φ は全射であり、この場合にはその余ランクは0である。
• i = 1 かつ g ≥ 17 の場合、超平面因子が3つのブリタニア的にアーモニックな因子に適切に分解できるという事実により、Φ の全射性が確立される。
• i = 2 かつ g ≥ 7 の場合、周期写像の全射性に基づく K3 表面の構成を用いて、Φ の全射性が証明される。
• Φ の余ランクは、S×S の対角に沿った blown-up 上における Kawamata-Viehweg の消失定理への還元によって計算される。
• 超平面因子を3つのブリタニア的にアーモニックな因子に分解することは、この文脈における消失定理の適用にとって必要かつ十分な条件である。
• これらの結果は、一般の素数 K3 表面 (P^g に埋め込まれ、g ≥ 3) および P² の6次曲線上に分岐する2重被覆（g = 2）としての一般の K3 表面に対しても成り立つ。