[論文レビュー] On the correction to Einstein's formula for the effective viscosity

David Gérard‐Varet, Amina Mecherbet|arXiv (Cornell University)|Apr 12, 2020

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 12被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、希薄な球状粒子の懸濁液におけるアインシュタインの有効粘性率の公式に対する無条件的な $ o(\lambda^2) $ の補正を確立する。平均場極限下で2次粘性率補正 $ \mu_2(x)\lambda^2 $ の存在を証明することで、周期的およびランダムな定常配置を含む一般の粒子配置へ、従来の条件付き結果を拡張し、均質化理論と補正子理論を用いて $ \mu_2 $ を明示的に計算する。

ABSTRACT

This paper is a follow-up of article [6], on the derivation of accurate effective models for viscous dilute suspensions. The goal is to identify an effective Stokes equation providing a $o(\\lambda^2)$ approximation of the exact fluid-particle system, with $\\lambda$ the solid volume fraction of the particles. This means that we look for an improvement of Einstein's formula for the effective viscosity in the form $\\mu_{eff}(x) = \\mu + \\frac{5}{2} \\mu \ ho(x) \\lambda + \\mu_2(x) \\lambda^2$. Under a separation assumption on the particles, we proved in [6] that if a $o(\\lambda)^2$ Stokes effective approximation exists, the correction $\\mu_2$ is necessarily given by a mean field limit, that can then be studied and computed under further assumptions on the particle configurations. Roughly, we go here from the conditional result of [6] to an unconditional result: we show that such a $o(\\lambda^2)$ Stokes approximation indeed exists, as soon as the mean field limit exists. This includes the case of periodic and random stationary particle configurations.

研究の動機と目的

• 希薄な粘性懸濁液における球状粒子の有効ストークス方程式を $ o(\lambda^2) $ の精度で導出すること。
• アインシュタインの公式 $ \mu_{\text{eff}} = \mu + \frac{5}{2}\mu\lambda + \mu_2\lambda^2 $ における古典的な $ o(\lambda) $ 近似を超える2次補正 $ \mu_2(x)\lambda^2 $ を特定すること。
• 補正子の平均場極限が存在する限り、$ o(\lambda^2) $ 近似の存在を無条件に証明すること。
• 周期的およびランダムな定常配置を含む、粒子配置にやや弱い仮定を置いた場合に $ \mu_2(x) $ を明示的に計算すること。
• 補正子の平均場極限との関連を示すことにより、従来の条件付き結果を無条件の存在に拡張すること。

提案手法

• 粒子表面におけるスライプなしおよびトルクなしの境界条件を満たすストークス問題として、流体-粒子系を定式化する。
• 均質化技術を用いて、空間的に変化する有効粘性率 $ \mu_{\text{eff}}(x) = \mu + \mu_1\lambda + \mu_2\lambda^2 $ を持つ有効ストークス方程式を導出する。
• 補正子方程式の平均場極限に依存して $ \mu_2(x) $ を定義し、粒子間隔と密度収束の仮定の下で収束を保証する。
• スケーリングおよび周期的近似技術を用いて、大きな領域における補正子の極限を分析する。
• 部分積分とグリーン関数 $ G_{S,1} $ の周期的分解を用いて、特異性と境界効果を扱う。
• 2点相関積分が径数関数 $ r $ を含んで収束することを確立し、$ \mu_2 $ が粒子分布の平均場極限によって決定されることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 粒子配置に依存しない形で、アインシュタインの $ o(\lambda) $ 公式を超える $ o(\lambda^2) $ の有効粘性率近似が、希薄な懸濁液に存在するか？
• RQ2 補正子方程式の平均場極限から、2次補正 $ \mu_2(x) $ を明示的に計算できるか？
• RQ3 補正子の平均場極限が存在するという仮定の下で、$ o(\lambda^2) $ 近似の存在が無条件に保証されるか？
• RQ4 特に非周期的でランダムな配置において、$ \mu_2(x) $ の構造は粒子の幾何学的形状と空間的分布にどのように依存するか？
• RQ5 径数相関関数 $ r $ は、有効粘性率における2次補正を決定する上で、どのような役割を果たすか？

主な発見

• 補正子の平均場極限が存在する限り、$ o(\lambda^2) $ の有効ストークス近似が無条件に存在する。
• 2次補正 $ \mu_2(x) $ は、粒子配置にやや弱い仮定を置いた場合に、明示的に計算可能な平均場極限として与えられる。
• 周期的およびランダムな定常粒子配置（ハードコア・ポアソン過程を含む）において、平均場極限が存在し、明確に定義された $ \mu_2(x) $ を与える。
• 補正 $ \mu_2(x) $ はスカラーではなく、粒子分布のトレースフリー対称テンソル構造に依存する。
• $ r $ とグリーン関数を含む2点相関積分の極限は $ \frac{m^2}{5}|S|^2 $ に収束し、$ \mu_2 $ の構造が確認される。
• この結果により、アインシュタインの公式が2次にまで一般化され、希薄な懸濁液における高次有効粘性率モデルの厳密な基礎が提供される。