[論文レビュー] On the Cox ring of blowing up the diagonal

Hendrik Bäker|arXiv (Cornell University)|Feb 22, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、射影空間の積および$\mathbb{P}^1$-積における対角線に沿った blown-up の Cox 環を計算し、ねじれたPl"ucker関係式によるgraded多項式代数の商として明示的な表示を与える。有限生成性を確立し、Grassmannian多様体と線形部分空間の交わりとして幾何学的実現を行う。

ABSTRACT

We compute the Cox rings of the blow-ups $\mathrm{Bl}_Δ(X' imes X')$ and $\mathrm{Bl}_Δ(\mathbb P_1^n)$ where $X'$ is a product of projective spaces and $Δ$ is the (generalised) diagonal.

研究の動機と目的

• X' \times X' の対角線に沿った blown-up の Cox 環を計算すること、ここで X' は射影空間の積である。
• P_1^n の一般化された対角線に沿った blown-up の Cox 環の有限生成性を確立すること。
• これらの Cox 環の生成元と関係式を用いた明示的表示を提供すること。
• 全座標空間がアフィン Grassmannianと線形部分空間の交わりとして得られることを示すこと。
• トーリックおよび球面的多様体の技術を、P_1^n のような非球面的ケースに拡張すること。

提案手法

• 正規代数的多様体で、除法類群が有限生成であるものを対象として、Cox の構成と全座標空間の枠組みを用いる。
• 伸ばし埋め込み技術を適用：定義方程式に対応する変数の追加により、元の多様体をより大きなトーリック多様体に埋め込む。
• X' \times X' に対して \mathbb{Z}^r \times \mathbb{Z}^r \times \mathbb{Z} - 次数を導入し、P_1^n に対しては \mathbb{Z}^{n+1} - 次度を導入し、生成元に除法類群構造に基づく次数を割り当てる。
• ねじれたPl"ucker関係式を定義イデアルとして用いる：0 \leq i < j < k < l \leq n_r + 2 に対して、T_{ij}T_{\infty} - T_{ik}T_{jk} + T_{il}T_{jk} および T_{ij}T_{kl} - T_{ik}T_{jk} + T_{il}T_{jk}。
• Nakayama の補題と素性の判定基準を用いて、定義イデアルが素であることを確認し、Cox 環が整域であることを保証する。
• 埋め込みによるイデアルの引き戻しと押し出しを用いた持ち上げと制限の手続きを適用し、blown-up を既知のトーリック構成と関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 X' が射影空間の積であるとき、X' \times X' の対角線に沿った blown-up の Cox 環の構造は何か？
• RQ2 P_1^n の一般化された対角線に沿った blown-up の Cox 環は、有限生成性および表示に関してどのように振る舞うか？
• RQ3 このような blown-up の全座標空間は、Grassmannian と線形部分空間の交わりとして記述可能か？
• RQ4 特に blown-up と伸ばしを経た後、Cox 環を定義するイデアルが素である条件は何か？
• RQ5 非球面的ケース、例えば P_1^n のような場合に、除法類群と次数は blown-up 構成においてどのように振る舞うか？

主な発見

• Cox 環 \mathrm{Bl}_{\Delta_X}(X' \times X') は、R_X / I_X に同型であり、ここで R_X = \mathbb{K}[T_\infty, {}_rT_{ij}] で、I_X はねじれたPl"ucker関係式によって生成される。
• Cox 環 \mathrm{Bl}_{\Delta_Y}(\mathbb{P}_1^n) は、R_Y / I_Y に同型であり、R_Y = \mathbb{K}[S_{ij}] で、I_Y は n+2 個の変数における古典的Pl"ucker関係式のイデアルである。
• R_X / I_X の次数は明示的に与えられる：\deg(T_\infty) = (0,0,1)、\deg({}_rT_{ij}) = (e_r,0,0)（j = n_r+1 のとき）、(0,e_r,0)（j = n_r+2 のとき）、それ以外は (e_r,e_r,-1)。
• R_Y / I_Y の次数は、\deg(S_{ij}) = e_i（j = n+1,n+2 かつ i \leq n のとき）、e_{n+1}（i = n+1, j = n+2 のとき）、それ以外は e_i + e_j - e_{n+1} と与えられる。
• I_X は、I_X + \langle T_\infty \rangle の素性とgraded Nakayama の補題の適用により素であることが示された。
• Cox 環 \mathrm{Bl}_{\Delta_Y}(\mathbb{P}_1^n) は、多項式環のPl"ucker関係式による商のスペクトルとして実現され、除法類群を反映する特定の \mathbb{Z}^{n+1} - 次度が与えられる。