[論文レビュー] On the Cross-Correlation of a $p$-ary m-Sequence and its Decimated Sequences by $d=\frac{p^n+1}{p^k+1}+\frac{p^n-1}{2}$

Sung-Tai Choi, Ji-Youp Kim+1 more|arXiv (Cornell University)|May 27, 2012

Coding theory and cryptography参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、p ≡ 3 mod 4、n が奇数、k|n を満たす条件下で、p-ary m-シーケンスとそのデシメートドシーケンス（d = (pⁿ+1)/(pᵏ+1) + (pⁿ−1)/2 で定義）に関連する指数和 S(a,b) の値分布を導出する。この結果を用いて、周期 N = pⁿ−1、族サイズ pⁿ のシーケンス族を構成し、相互相関の大きさが (pᵏ+1)√N/2 で上界づけられることを示し、次に、次元 2n の𝔽ₚ 上の巡回符号の重み分布を特定する。これは、Xia による先行結果を一般化するものである。

ABSTRACT

In this paper, for an odd prime $p$ such that $p\equiv 3\bmod 4$, odd $n$, and $d=(p^n+1)/(p^k+1)+(p^n-1)/2$ with $k|n$, the value distribution of the exponential sum $S(a,b)$ is calculated as $a$ and $b$ run through $\mathbb{F}_{p^n}$. The sequence family $\mathcal{G}$ in which each sequence has the period of $N=p^n-1$ is also constructed. The family size of $\mathcal{G}$ is $p^n$ and the correlation magnitude is roughly upper bounded by $(p^k+1)\sqrt{N}/2$. The weight distribution of the relevant cyclic code $\mathcal{C}$ over $\mathbb{F}_p$ with the length $N$ and the dimension ${ m dim}_{\mathbb{F}_p}\mathcal{C}=2n$ is also derived. Our result includes the case in \cite{Xia} as a special case.

研究の動機と目的

• 特定のデシメート因子 d に対して、S(a,b) = ∑ₓ∈𝔽ₚₙ χ(ax + bxᵈ) の値分布を特定すること。
• 周期 N = pⁿ−1、低相互相関特性を有するシーケンス族 𝒢 を構成すること。
• 長さ N、次元 2n の𝔽ₚ 上の巡回符号 𝒞 の重み分布を導出すること。
• Xia が以前に得た、d の特殊な場合に関する相互相関と重み分布の結果を一般化すること。
• 構成されたシーケンス族における相互相関値の最大絶対値の上界を確立すること。

提案手法

• 有限体上の二次形式の理論を用いて、関連する対称行列のランクと構造に注目し、指数和 S(a,b) を分析する。
• ガロア理論とガウス和の性質を適用し、特にリーマン・ジェーゲンの記号と ℚ(ω) の二次部分体 ℚ(√p*) を活用する。ここで ω = e²πi/p である。
• トレース関数 tr₁ⁿ(⋅) と標準加法的指標 χ(⋅) = ω^{tr₁ⁿ(⋅)} を用いて、相互相関を S(a,b) の形に表現する。
• 符号語のハミング重みを計算するために、μ(S(a,b)) = ∑_{l=1}^{p−1} σ_l(S(a,b)) の変換を用いる。
• ガロア群が ω と √p* に作用するのを用い、S(a,b) の各異なる値に対して μ(S(a,b)) を計算することで、重み分布を導出する。
• S(a,b) の大きさを分析し、既知の指数和の上界を適用することで、相互相関の上界を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 d = (pⁿ+1)/(pᵏ+1) + (pⁿ−1)/2 のとき、指数和 S(a,b) = ∑ₓ∈𝔽ₚₙ χ(ax + bxᵈ) の値分布は何か？
• RQ2 このデシメートに基づいて構成されたシーケンス族 𝒢 における相互相関の最大絶対値は何か？
• RQ3 長さ pⁿ−1、次元 2n の𝔽ₚ 上の巡回符号 𝒞 の重み分布は何か？
• RQ4 得られた結果は、Xia が d = (pⁿ+1)/(p+1) + (pⁿ−1)/2 の場合に得た結果とどのように関係するか？
• RQ5 デシメート因子 d の複雑さを考慮しても、S(a,b) の値分布は効率的に計算可能か？

主な発見

• d = (pⁿ+1)/(pᵏ+1) + (pⁿ−1)/2 のとき、S(a,b) の値分布は完全に特定され、4つの異なる値：0、±j p^{n/2}、±j (pᵏ+1)/2 p^{n/2}、および pⁿ をとる。
• シーケンス族 𝒢 は族サイズ pⁿ であり、相互相関値の最大絶対値は (pᵏ+1)√N/2 で上界づけられる（N = pⁿ−1）。
• 巡回符号 𝒞 の重み分布は明示的に計算され、w₀ = 1、w_{p^{n-1}(p−1)} = (pⁿ−1)(pⁿ−2p^{n−k}+1)、w_{(p−1)(p^{n−1}+½p^{(n+k)/2−1})} = (pⁿ−1)(p^{n−k}−p^{(n−k)/2})、w_{(p−1)(p^{n−1}−½p^{(n+k)/2−1})} = (pⁿ−1)(p^{n−k}+p^{(n−k)/2}) である。
• 重み分布は、ガウス和へのガロア群の作用と、μ-写像下での S(a,b) のトレースを用いて導出された。
• k=1 の場合、Xia の論文で得られた d と結果と一致するため、本結果は Xia の作業を一般化する。
• 非ゼロ値において、指数和 S(a,b) は最大絶対値 (pᵏ+1)/2 × p^{n/2} を達成し、これが直接的に相関の上限を決定する。