[論文レビュー] On the crossing number of some complete multipartite graphs

Pak Tung Ho|arXiv (Cornell University)|Oct 16, 2013

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 6被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、$K_{5,n}$ に関するクライトマンの結果を拡張し、組合せ的数え上げと図形的構造解析を用いて、4つの完全多部グラフ—$K_{1,1,1,1,n}$、$K_{1,2,2,n}$、$K_{1,1,1,2,n}$、$K_{1,4,n}$—の交差数を決定する。主な貢献は、完全二部グラフにおけるザランキエヴィチの予想をこれらの多部グラフの場合に一般化する正確な公式を確立することにある。

ABSTRACT

In this paper, we find the crossing number of the complete multipartite graphs $K_{1,1,1,1,n}$, $K_{1,2,2,n}$, $K_{1,1,1,2,n}$ and $K_{1,4,n}$.

研究の動機と目的

• 完全多部グラフの交差数を、よく知られた完全二部グラフのケースを超えて特定すること。
• 完全二部グラフ $K_{m,n}$ の交差数に関するザランキエヴィチの予想を、特定の完全4部および5部グラフに拡張すること。
• $K_{1,1,1,1,n}$、$K_{1,2,2,n}$、$K_{1,1,1,2,n}$、$K_{1,4,n}$ の交差数について、構造的および組合せ的手法を用いて正確な公式を提示すること。
• 提案された公式がタイトであることを、所定の交差数に達する図形の構成と、帰納法および数え上げによる下界の証明によって検証すること。

提案手法

• 完全多部グラフの境界を導く基礎的ツールとして、$K_{5,n}$ の交差数に関するクライトマンの結果を活用する。
• $n$-部グラフ集合から1つの頂点を抑制して得られる部分グラフに対して再帰的数え上げを適用し、$K_{1,1,1,1,n}$ の交差数を $K_{1,1,1,1,n-1}$ の交差数と関連付ける。
• $K_{2,3}$ および $K_{1,2,2}$ の非同型な図形に対するケース解析を用いて、高次元境界を持つ領域の数を制限し、交差数に与える影響を特定する。
• 分解公式 $cr_{ heta}(A igcup B) = cr_{ heta}(A) + cr_{ heta}(B) + cr_{ heta}(A,B)$ を用いて辺集合を分割し、総交差数を計算する。
• 帰納法と不等式連鎖を用いて交差数の下界を導出し、任意の小さい値は部分グラフの既知の交差数と矛盾することを示す。
• $K_{1,4,n}$ の場合、構造的図形に依存しない、複数の部分図形における辺の交差に基づく基本的数え上げを適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全5部グラフ $K_{1,1,1,1,n}$ の交差数は何か？ また、$Z(4,n)$ であるザランキエヴィチ関数を用いて表現可能か？
• RQ2 $K_{1,2,2,n}$ の交差数は $Z(5,n)$ とどのように異なるか？ また、$K_{1,2,2}$ の非同型な図形が境界を特定する役割を果たすか？
• RQ3 $K_{1,1,1,2,n}$ の交差数は類似手法で特定可能か？ また、$Z(5,n)$ よりも正確に $2n$ 多いとされるか？
• RQ4 $K_{1,4,n}$ の交差数は何か？ また、$Z(5,n) + 2\big\rfloor{n/2}\big\rfloor$ のパターンに従うか？
• RQ5 $K_{1,1,3,n}$ および $K_{2,4,n}$ に対する提案された公式は妥当か？ また、同じ手法で証明可能か？

主な発見

• $K_{1,1,1,1,n}$ の交差数は正確に $Z(4,n) + n$ であり、$Z(4,n)$ は $K_{4,n}$ に対するザランキエヴィチ関数である。
• $K_{1,2,2,n}$ の交差数は $Z(5,n) + \big\rfloor{3n/2}\big\rfloor$ であり、$K_{1,2,2}$ 図形の構造的解析と辺交差分解から導出された。
• $K_{1,1,1,2,n}$ の交差数は $Z(5,n) + 2n$ であり、ケース解析と $n$ に関する帰納法によって確認された。
• $K_{1,4,n}$ の交差数は $Z(5,n) + 2\big\rfloor{n/2}\big\rfloor$ であり、部分図形における基本的数え上げによって確立された。
• 本稿では、$K_{1,4,n}$ の交差数が $Z(5,n) + 2\big\rfloor{n/2}\big\rfloor$ よりも少ない図形は、部分グラフの既知の交差数と矛盾することを証明した。
• 以降の研究で $K_{1,1,3,n}$ および $K_{2,4,n}$ に対する予想された値が確認されたことから、本稿の手法的アプローチの妥当性が裏付けられた。