[論文レビュー] On the curvature estimates for Hessian equations

Changyu Ren, Zhizhang Wang|arXiv (Cornell University)|Feb 21, 2016

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 17被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$\mathbb{R}^{n+1}$ 内の $n$ 次元超曲面上における $(n-1)$-Hessian 方程式について、長年の未解決問題であったグローバル $C^2$ 評価を確立する。Garding錐 $\Gamma_{n-1}$ 内での改良されたテスト関数および曲率不等式を用いて、主曲率の一様な有界性を証明し、所望の曲率問題における存在性および正則性結果を得る。

ABSTRACT

The curvature estimates of $k$ curvature equations for general right hand side is a longstanding problem. In this paper, we totally solve the $n-1$ case and we also discuss some applications for our estimate.

研究の動機と目的

• 一般右辺 $f(X,\nu)$ を持つ $(n-1)$-Hessian 曲率方程式に対するグローバル $C^2$ 評価の長年の未解決問題を解決すること。
• Garding錐 $\Gamma_{n-1}$ 内で $n-1$-凸超曲面に対する一様な曲率有界性を確立すること。
• 中空領域における所望の $(n-1)$-曲率問題に対する $C^{3,\alpha}$ 解の存在性および正則性を証明すること。
• ミンコフスキー空間内のスパタイムリーなグラフへと曲率評価を拡張し、自然な幾何的制約のもとで $C^2$ 界を保証すること。

提案手法

• Garding錐 $\Gamma_{n-1}$ 内での改良された曲率不等式を導出。[21] よりも優れた推定を得る。
• 主曲率を制御するため、テスト関数 $\phi = \log\log P + \frac{N}{2}|Du|^2$ を導入。ここで $P = \sum_l e^{\kappa_l}$ である。
• 内部最大点における $\phi$ に対する最大値原理を適用し、2階微分および曲率構造を用いて $C^2$ 評価を導出する。
• 境界曲率挙動を制御するため、下界関数および境界 $C^2$ 評価の議論を用いる。
• 連続性法および Evans-Krylov 理論を用いて、$C^{3,\alpha}$ 解の存在を証明する。
• Gauss および Weingarten 方程式を修正することで、ミンコフスキー空間内のスパタイムリーなグラフへとこの手法を適応する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Garding錐 $\Gamma_{n-1}$ 内で、一般右辺 $f(X,\nu)$ を持つ $(n-1)$-Hessian 方程式に対して、グローバル $C^2$ 評価を確立できるか。
• RQ2 $f$ にどのような条件を課すと、中空領域 $\{r_1 \leq |X| \leq r_2\}$ 内で $C^{3,\alpha}$ 星型解が存在するか。
• RQ3 ミンコフスキー空間内のスパタイムリーなグラフへと曲率評価を $\sigma_{n-1}$ 曲率方程式へと拡張できるか。
• RQ4 $f$ が $\nu$ に依存しないと仮定しない状況でも、$f$ に自然な単調性および径方向有界性を課した下で $C^2$ 評価を得られるか。
• RQ5 テスト関数 $\phi = \log\log P + \frac{N}{2}|Du|^2$ が曲率有界性を達成するために果たす役割は何か。

主な発見

• 本稿は、$\Gamma_{n-1}$ 内で $(n-1)$-Hessian 方程式に対するグローバル $C^2$ 評価を確立し、定数 $C$ が $n$、$\|M\|_{C^1}$、$\inf f$、$\|f\|_{C^2}$ のみに依存するように、$\max \kappa_i(X) \leq C$ を証明する。
• $C^2$ 評価は、有界領域 $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ 内のディリクレ問題へと拡張され、$\|u\|_{C^2(\bar{\Omega})} \leq C + \max_{\partial\Omega} |\nabla^2 u|$ を得る。
• 条件 (1.4) および (1.5) を $f$ に課した下で、中空領域 $\{r_1 \leq |X| \leq r_2\}$ 内で $(n-1)$-曲率方程式に対する $C^{3,\alpha}$ 星型解の存在および一意性を証明する。
• 曲率評価は、ミンコフスキー空間内のスパタイムリーなグラフへも成功裏に拡張され、$\sup |Du| \leq \theta < 1$ の条件下で $C^2$ 界が得られる。これは一様な $C^1$ 制御を保証する。
• テスト関数 $\phi$ を用いることで、最大主曲率 $\kappa_1$ に対する一様有界性が得られ、内部での制御を保証する主要な項 $N\sigma_{n-1}^{ii}h_{ii}^2(1 - |Du|^2)$ がその中心的役割を果たす。
• 連続性法および Evans-Krylov 理論を用いて、解集合の開性が確立され、所望の曲率問題に対する存在証明が完成する。