[論文レビュー] On the curvature of tensor product connections and covariant differentials

Josef Janyška|ArXiv.org|Apr 3, 2003

Advanced Differential Geometry Research参考文献 1被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、同一の基底多様体上の2つの線形接続のテンソル積接続の曲率の座標式および幾何的記述を導出する。ベクトル bundle 上の線形接続と基底多様体上の対称線形接続を用いて、テンソル場に対する一般化された共変微分を定義し、一般化されたビアンキ恒等式を証明する。また、2階共変微分の反対称化が両接続の曲率テンソルによって表現可能であることを示す。

ABSTRACT

We give coordinate formula and geometric description of the curvature of the tensor product connection of linear connections on vector bundles with the same base manifold. We define the covariant differential of geometric fields of certain types with respect to a pair of a linear connection on a vector bundle and a linear symmetric connection on the base manifold. We prove the generalized Bianchi identity for linear connections and we prove that the antisymmetrization of the second order covariant differential is expressed via the curvature tensors of both connections.

研究の動機と目的

• 同一の基底多様体上の2つのベクトル bundle 上の線形接続のテンソル積接続の曲率の座標式および幾何的記述を提供すること。
• ベクトル bundle 上の線形接続と基底多様体上の対称線形接続を用いて、ベクトル bundle 及びその双対、接束・余接束のテンソル積の切断である幾何的場に対する共変微分を定義すること。
• 古典的ビアンキ恒等式を線形接続の設定に一般化し、2階共変微分の反対称化が両接続の曲率テンソルによって決定されることを証明すること。
• テンソル積接続の曲率と個々の接続の曲率の間の明確な関係を確立すること。

提案手法

• 線形接続の曲率を、垂直バンドルに値を持つ垂直2次形式として、Froelicher-Nijenhuis括弧を用いて定義する。
• 接続係数 $K_j^i{}_{\lambda}$ 及びその微分を含む座標表現を用いて、テンソル積接続 $K \otimes K'$ の曲率を $K$ 及び $K'$ の曲率の式で表現する。
• ベクトル bundle 上の線形接続 $K$ と基底多様体上の対称線形接続 $\Gamma$ を組み合わせた混合共変微分 $\nabla = \nabla^{(K,\Gamma)}$ を導入する。
• 高階共変微分の恒等式を導出するための基盤として、一般化されたビアンキ恒等式 $[K, R[K]] = 0$ を用いる。
• タイプ $(p,r)_{q,s}$ のテンソル場 $\Phi$ の2階共変微分 $\nabla^2\Phi$ の座標表現を、$K$ 及び $\Gamma$ の両接続を含む形で記述する。
• 2階共変微分に反対称化 $\operatorname{Alt}$ を適用し、その表現を $K$ 及び $\Gamma$ の曲率テンソルの形で導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 テンソル積接続 $K \otimes K'$ の曲率は、$K$ 及び $K'$ の曲率を用いて、座標上および幾何的にどのように表現されるか？
• RQ2 ベクトル bundle、その双対、および接束／余接束のテンソル積からなるテンソル場の共変微分の構造は、bundle 上の線形接続と基底多様体上の対称接続を備えた場合にどのように規定されるか？
• RQ3 線形接続の曲率テンソルの共変微分に、基底多様体上の対称接続を組み合わせた場合、一般化されたビアンキ恒等式が成立するか？
• RQ4 2階共変微分の反対称化は、基礎となる接続の曲率テンソルとどのように関係しているか？

主な発見

• テンソル積接続 $K \otimes K'$ の曲率は、$K$ 及び $K'$ の曲率によって完全に決定され、座標表現は $R[K \otimes K']_{j}{}^{i}{}_{\lambda\mu} = R[K]_{j}{}^{i}{}_{\lambda\mu} + R[K']_{j}{}^{i}{}_{\lambda\mu}$ で与えられる。
• 一般化されたビアンキ恒等式が成立する：$R[K]_{j}{}^{i}{}_{\lambda\mu;\nu} + R[K]_{j}{}^{i}{}_{\mu\nu;\lambda} + R[K]_{j}{}^{i}{}_{\nu\lambda;\mu} = 0$ であり、セミコロンは共変微分を表し、接続 $\nabla^{(K,\Gamma)}$ による微分を意味する。
• テンソル場 $\Phi$ の2階共変微分の反対称化は、$\operatorname{Alt}\nabla^2\Phi = -\frac{1}{2} R[\Gamma^p_q \otimes K^r_s] \circ \Phi$ を満たし、結果がテンソル積接続の曲率によって表現される。
• 切断 $\Phi = \phi^i \mathbf{b}_i$ の場合、反対称化された2番目の共変微分は $\operatorname{Alt}\nabla^2\Phi = -\frac{1}{2} R[K]_j{}^i{}_{\lambda\mu} \phi^j \mathbf{b}_i \otimes d^\lambda \wedge d^\mu$ である。
• 曲率テンソル $R[K]$ の2階共変微分は、$\operatorname{Alt}\nabla^2 R[K] = -\frac{1}{2} \big( R[K]_p{}^i{}_{\nu_1\nu_2} R[K]_j{}^p{}_{\lambda\mu} - R[K]_j{}^p{}_{\nu_1\nu_2} R[K]_p{}^i{}_{\lambda\mu} - R[\Gamma]_\lambda{}^\omega{}_{\nu_1\nu_2} R[K]_j{}^i{}_{\omega\mu} - R[\Gamma]_\mu{}^\omega{}_{\nu_1\nu_2} R[K]_j{}^i{}_{\lambda\omega} \big) \mathbf{b}^j \otimes \mathbf{b}_i \otimes d^\lambda \wedge d^\mu \otimes d^{\nu_1} \wedge d^{\nu_2}$ を満たす。
• ここで $p = q = 0$ の場合、共変微分 $\nabla\Phi$ は、古典的対称接続 $\Gamma$ による $(r,s)$-テンソル場の標準的共変微分に帰着し、古典的微分幾何学と整合性が保たれることを確認する。