[論文レビュー] On the cusp form motives in genus 1 and level 1

Caterina Consani, Carel Faber|ArXiv.org|Apr 20, 2005

Advanced Algebra and Geometry参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、滑らかでないn点付き楕円曲線のモジュライ空間$\overline{M}_{1,n}$と対称群$\Sigma_n$の交代表現を用いて、$\mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})$の重さ$n+1$の尖型形式に関連するチャウモチーフの別構成を与える。主な結果は、$\overline{M}_{1,n}$のコホモロジーの交代部分が、$H^1_!(M_{1,1}, \mathrm{Sym}^{n-1}R^1\pi_*\mathbb{Q})$というパラボリックコホモロジーを実現することを示し、シュールのクーガ・サト構成のレベル1版を提供する。

ABSTRACT

We prove that the moduli space of stable n-pointed curves of genus one and the projector associated to the alternating representation of the symmetric group on n letters define (for n>1) the Chow motive corresponding to cusp forms of weight n+1 for SL(2,Z). This provides an alternative (in level one) to the construction of Scholl.

研究の動機と目的

• 重さ$k$の$\mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})$に関する尖型形式のチャウモチーフ$S[k]$を、genus 1およびレベル1において幾何的に別構成すること。
• シュールのクーガ・サト多様体の代わりに、安定なn点付き楕円曲線のモジュライ空間$\overline{M}_{1,n}$を、これらのモチーフの幾何的実現の基盤として用いること。
• $\Sigma_n$-equivariantコホモロジーの交代部分が、$H^1_!(M_{1,1}, \mathrm{Sym}^{n-1}R^1\pi_*\mathbb{Q})$を実現することを確立すること。
• genus 1の知見を高genusに一般化し、シーゲルモジュラー形式およびそれらに関連する局所系統の背後にあるモチーフを対象とすること。

提案手法

• チャウモチーフ構成の幾何的基盤として、安定なn点付きgenus 1曲線のモジュライ空間$\overline{M}_{1,n}$を用いる。
• $\Sigma_n$の交代表現$\alpha$に関連するプロジェクター$\Pi_\alpha$を用いて、関連するコホモロジー成分を抽出する。
• 対称関数論と母関数を用いて、$M_{1,n}$およびその境界$\partial M_{1,n}$の$\Sigma_n$-equivariantオイラー特性を計算する。
• ゲツラーのモジュラー操業理論と$\Sigma_n$-equivariantコホモロジーを活用し、$H^*(M_{1,n})$を$M_1$上の無限大対称的局所系統に結びつける。
• リェラリーのスペクトル系列の退化（リーベルマンのテクニックを用いて）により、交代部分のコホモロジーが$n$以外の次数で消えることを示す。
• 双対性と重みの考察を用いて、純粋性を証明し、$H^n(\overline{M}_{1,n})(\alpha) \cong S[n+1]$を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 重さ$n+1$の$\mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})$に関する尖型形式に付随するチャウモチーフ$S[n+1]$を、クーガ・サト多様体の代わりに$\overline{M}_{1,n}$を用いて幾何的に構成できるか？
• RQ2 $\overline{M}_{1,n}$の$\Sigma_n$-equivariantコホモロジー構造、特に交代部分は何か？
• RQ3 $\partial M_{1,n}$のコホモロジーの交代部分は、$M_{1,n}$のコホモロジーおよび得られるモチーフとどのように関係するか？
• RQ4 $M_{1,n}$の$\Sigma_n$-equivariantオイラー特性は、対称関数およびモジュラー操業技法を用いて明示的に計算可能か？
• RQ5 $\overline{M}_{1,n}$とプロジェクター$\Pi_\alpha$を用いた結果得られるモチーフは、正しいパラボリックコホモロジー$H^1_!(M_{1,1}, \mathrm{Sym}^{n-1}R^1\pi_*\mathbb{Q})$を実現するか？

主な発見

• $M_{1,n}$の$\Sigma_n$-equivariantコンパクト台付きオイラー特性の交代部分は、$n$が奇数のとき1、$n$が偶数のとき0である。
• $\partial M_{1,n}$のコホモロジーの交代部分は、$n$が奇数のとき1、$n$が偶数のとき0である。これは定理2で示されている。
• $\overline{M}_{1,n}$のコホモロジーの交代部分は、$n$が奇数のとき$-S[n+1]$、$n$が偶数のとき0である。
• $H^n(\overline{M}_{1,n})(\alpha)$は重み$n$の純粋で、$S[n+1]$に同型である。これはモチーフ構成を確認する。
• $n>1$かつ$n$が奇数のとき、$\overline{M}_{1,n}$と$\Pi_\alpha$による構成は、正しいパラボリックコホモロジー$H^1_!(M_{1,1}, \mathrm{Sym}^{n-1}R^1\pi_*\mathbb{Q})$を実現する。
• $S[n+1]$モチーフは、$\Sigma_n$による商$\overline{M}_{1,n}$として構成され、交代プロジェクターが純粋性と正しい重みを保証する。