[論文レビュー] On the cutoff frequency of clarinet-like instruments. Geometrical versus acoustical regularity

Elise Moers, Jean Kergomard|arXiv (Cornell University)|Jan 25, 2011

Music Technology and Sound Studies参考文献 15被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、T字型セルの固有振動数が等しい「音響的正則格子」として定義することで、リコーダー類似楽器の音響的正則性を調査している。これは、穴の配置やサイズの幾何的不規則性があるにもかかわらず、カットオフ周波数がほぼ一定のまま保たれる理由を説明する。非一様な穴の間隔や半径であっても、バーレの先端に向かって穴の半径と間隔が増加することで、固有振動数が相対的に一定のままであることが示され、ベンデの経験的カットオフ周波数と楽器の物理的不規則性の間に矛盾が生じないことが解明された。

ABSTRACT

A characteristic of woodwind instruments is the cutoff frequency of their tone-hole lattice. Benade proposed a practical definition using the measurement of the input impedance, for which at least two frequency bands appear. The first one is a stop band, while the second one is a pass band. The value of this frequency, which is a global quantity, depends on the whole geometry of the instrument, but is rather independent of the fingering. This seems to justify the consideration of a woodwind with several open holes as a periodic lattice. However the holes on a clarinet are very irregular. The paper investigates the question of the acoustical regularity: an acoustically regular lattice of tone holes is defined as a lattice built with T-shaped cells of equal eigenfrequencies. Then the paper discusses the possibility of division of a real lattice into cells of equal eigenfrequencies. It is shown that it is not straightforward but possible, explaining the apparent paradox of Benade's theory. When considering the open holes from the input of the instrument to its output, the spacings between holes are enlarged together with their radii: this explains the relative constancy of the eigenfrequencies.

研究の動機と目的

• リコーダー類似楽器のカットオフ周波数が、穴の配置やサイズの著しい幾何的不規則性があるにもかかわらず、ほとんど指孔の配置に依存しないというパラドックスを解消すること。
• 幾何的周期性がなくても、T字型セルの固有振動数が等しいという条件に基づいて「音響的正則性」を定義・分析すること。
• 周期的でなく、有限で損失を含む穴格子においても、グローバルなカットオフ周波数を意味的に定義でき、かつ安定しているかどうかを調査すること。
• 幾何的パラメータ（穴の間隔、半径）と固有振動数の関係を検討し、カットオフ周波数の一定性を説明すること。

提案手法

• 幾何的周期性ではなく、T字型セルの固有振動数が等しいことを基準に「音響的正則格子」を定義すること。
• T字型セルの音響特性をモデル化するため、系列インピーダンス（Z_a）とシャントアドミittance（Y）を組み込んだ伝達行列法を用いること。
• 行列係数BとCを用いてTセルの特性インピーダンスを導出し、カットオフ周波数の条件を係数Cの第一因子が消える条件として分析すること。
• 系列およびシャント要素を両方とも正確に扱うことで、従来のモデルで用いられていた近似を避ける、正確なカットオフ周波数の式を導出すること。
• B♭クラリネットの実測されたバーレおよび穴のパラメータを用いて、固有振動数を計算し、さまざまな指孔配置における正則性を評価すること。
• インピーダンス安定性を評価するための比 (1 + m_a/2m)/S² を用い、負の質量項（m_a）が小さい場合でも結果に顕著な影響を及ぼさないことを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 幾何的に不規則な指孔を有するクラリネットにおいて、グローバルに安定したカットオフ周波数が存在しうるか？
• RQ2 非周期的指孔格子における「音響的正則性」は、どのように定義されるか？
• RQ3 穴の間隔や半径の変動が、カットオフ周波数の一定性にどのように寄与しているか？
• RQ4 現実の不規則な木管楽器に対して、周期的媒体の仮定がどの程度適用可能か？

主な発見

• クラリネットのカットオフ周波数は、バーレの先端に向かって穴の間隔と半径が増加することで、さまざまな指孔配置においてもほぼ一定のままである。これは、T字型セルの固有振動数が安定しているためである。
• 幾何的周期性がなくても、T字型セルの固有振動数が等しいことによって「音響的正則格子」を定義でき、ベンデ理論のパラドックスを解消できる。
• 入力インピーダンス測定から導かれるグローバルなカットオフ周波数は、幾何的不規則性に対して頑健である。これは、バーレの最初のセグメントがカットオフ挙動を支配しているためである。
• 伝達行列モデルに負の音響的質量（Z_a）を組み込むことで、従来の近似よりもより正確なカットオフ周波数の式が得られた。
• 比 (1 + m_a/2m)/S² は、穴の間でほぼ一定であり、特性インピーダンスの安定性を示しており、音響的正則性の概念を支持する。
• 著しい幾何的変動があっても、Tセルの固有振動数は相対的に一定のままであるため、実楽器におけるカットオフ周波数の一定性が説明できる。