[論文レビュー] On the Cycle Structure of Repeated Exponentiation Modulo a Prime Power

Min Sha|arXiv (Cornell University)|Jan 18, 2011

Coding theory and cryptography参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、素数における反復累乗の周期点およびテイル長の漸近公式を、素数のべきへと拡張し、算術的力学および算術級数内の素数の分布を用いて考察する。素数のべきにおける平均サイクル長およびテイル長の明示的漸近式を導出し、素数における既存の結果を一般化する。

ABSTRACT

We obtain some results about the repeated exponentiation modulo a prime power from the viewpoint of arithmetic dynamical systems. Especially, we extend two asymptotic formulas about periodic points and tails in the case of modulo a prime to the case of modulo a prime power.

研究の動機と目的

• 素数における周期点およびテイル長の漸近公式を、素数のべきへと一般化すること。
• 素数のべきにおける乗法的群における平均サイクル長およびテイル長の明示的式を導出すること。
• 数論的道具を用いて、さまざまな素数のべきにおける周期点およびサイクルの分布を研究すること。
• 算術的力学における反復累乗の平均的挙動の結果を、より高い素数のべき法に拡張すること。

提案手法

• 素数のべきにおける乗法的群の構造を活用し、単元群の分解に関する既知の結果を用いる。
• 中国剰余定理およびオイラーのトーティエント関数の性質を用いて、サイクルおよびテイル関数を分析する。
• 算術級数内の素数の和の漸近的解析を実施し、算術級数における素数定理に依拠する。
• モービウスの反転公式および原始根の位数の性質を用いて、与えられた長さの周期点およびサイクルの数を数える。
• 文献[2]の手法を応用し、GCDの和および乗法的関数の推定値を用いて、素数における漸近的平均を導出する。
• 極限を用いた定義により、素数全体にわたる周期点およびサイクルの漸近的平均数を導入する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 反復累乗における周期点およびテイル長の漸近的分布は、素数におけるものから素数のべきへと移行する際、どのように変化するか？
• RQ2 素数のべきにおける乗法的群における平均サイクル長およびテイル長に対して、明示的な公式を導出できるか？
• RQ3 法が固定された素数のべきであるとき、与えられた周期の周期点の数は、素数の増加に伴いどのように漸近的に増大するか？
• RQ4 反復累乗による動的系が素数のべきで定義されるとき、与えられた長さのサイクルの数の漸近的挙動はいかなるものか？
• RQ5 平均テイル長およびサイクル長は、指数kの素因数分解の形で表現可能か？

主な発見

• 素数のべきp^mにおける周期rの周期点の漸近的平均数AP_r(k,m)は、収束するオイラー積として与えられる：∏_{i=1}^s (p_i^2 / (p_i^2 - 1)) - 1。
• 素数のべきp^mにおける長さrのサイクルの漸近的平均数AC_r(k,m)は、乗法的位数の構造および素数のべき法における除数和の性質から導出される。
• 素数p ≤ Nにおける平均サイクル長c(k,m,N)は、lim_{N→∞} S_0(k,m,N)/N^m = (1/(m+1)) ∑_{q∈Ω} 1/q^2 を満たす。ここでΩはkの素因数の平方自由積の集合である。
• 平均テイル長t(k,m,N)は、lim_{N→∞} S(k,m,N) = ∑_{q∈Ω} ψ(q)/q を満たす。ここでψ(q)は、p進付値の上限関数を含む、qの約数に関する重み付き和である。
• 本稿では、1/(k^2(m+1)) < lim S_0(k,m,N)/N^m < (2^s - 1)/(m+1) という評価を提示し、kの異なる素因数の個数に依存する依存関係を示す。
• lim S(k,m,N) > 1/k および lim S(k,m,N) < 5√(p₁⋯pₛ)/((√p₁−1)⋯(√pₛ−1)) が成り立つことを確立し、平均テイル長に対する明示的な定量的制御を与える。