[論文レビュー] On the cyclic Formality conjecture

Boris Shoikhet|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 1999

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 2被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、Kontsevichの形式的定理を循環的ホモロジーへ一般化する、循環的 $L_\infty$-準同型の明示的公式を提案する。最初のテイラー成分である循環的 Hochschild-Kostant-Rosenberg写像が、コhomologicalなConnes-Tsygan双複体の構成により、 quasiisomorphism であることが証明され、これはシンプレクティック多様体上での閉じた星積の存在を示し、Connes-Flato-Sternheimer予想の精密化されたバージョンを確認する。

ABSTRACT

We conjecture an explicit formula for a cyclic analog of the Formality $L_{\infty}$-morphism [K]. We prove that its first Taylor component, the cyclic Hochschild-Kostant-Rosenberg map, is in fact a morphism (and a quasiisomorphism) of the complexes. To prove it we construct a cohomological version of the Connes-Tsygan bicomplex in cyclic homology. As an application of the cyclic Formality conjecture, we obtain an explicit formula for cyclically invariant deformation quantization.We show that (a more precise version of) the Connes-Flato-Sternheimer conjecture [CFS] on the existence of closed star-products on a symplectic manifold also follows from our conjecture.

研究の動機と目的

• Kontsevichの形式的 $L_\infty$-準同型の循環的アナログを定式化すること。
• 循環的 Hochschild-Kostant-Rosenberg写像が複体の quasiisomorphism であることを証明すること。
• 循環的ホモロジーにおける形式的理論の文脈で、Connes-Tsygan双複体のコhomological版を構成すること。
• 循環的形式的予想とシンプレクティック多様体上での閉じた星積の存在との間の関係を確立すること。
• Connes-Flato-Sternheimer予想の精密化されたバージョンに対する新しい証明を提供すること。

提案手法

• Kontsevichの形式的定理を拡張する循環的 $L_\infty$-準同型の明示的公式を提案する。
• 提案された準同型の最初のテイラー成分として、循環的 Hochschild-Kostant-Rosenberg写像を定義する。
• 形式的理論の文脈で循環的ホモロジーを分析するために、Connes-Tsygan双複体のコhomological版を構成する。
• コhomological双複体を用いて、循環的 HKR写像が quasiisomorphism であることを証明する。
• 循環的形式的予想を用いて、循環的不変変形の明示的公式を導出する。
• 予想を応用して、任意のシンプレクティック多様体上での閉じた星積の存在を導き、Connes-Flato-Sternheimer予想の精密化されたバージョンを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 変形量子化における循環的対称性を尊重する明示的 $L_\infty$-準同型を構成できるか？
• RQ2 循環的 Hochschild-Kostant-Rosenberg写像は、循環的ホモロジーの文脈で複体の quasiisomorphism であるか？
• RQ3 Connes-Tsygan双複体のコhomological版を用いて、循環的設定における形式的理論を証明できるか？
• RQ4 循環的形式的予想は、シンプレクティック多様体上での閉じた星積の存在を示唆するか？
• RQ5 予想は、変形量子化における循環的不変変形の明示的公式を提供するか？

主な発見

• 提案された循環的 $L_\infty$-準同型の最初のテイラー成分である循環的 Hochschild-Kostant-Rosenberg写像が、複体の quasiisomorphism であることが証明された。
• Connes-Tsygan双複体のコhomological版が構成され、形式的理論の文脈における循環的ホモロジーの分析が可能になった。
• 循環的形式的予想は、任意のシンプレクティック多様体上での閉じた星積の存在を示し、Connes-Flato-Sternheimer予想の精密化されたバージョンを確認した。
• 循環的形式的予想から、循環的不変変形の明示的公式が導出された。
• 予想は、Kontsevichの形式的定理を循環的設定へ拡張するための体系的な枠組みを提供する。
• 結果として、循環的ホモロジー、変形量子化、シンプレクティック幾何学との深い関係が確立された。