[論文レビュー] On the cyclic homology of ringed spaces and schemes

Bernhard Keller|ArXiv.org|Feb 2, 1998

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 14被引用数 79

ひとこと要約

本稿では、アーマイントラインバンドルを備えたスキーム X の循環ホモロジーと、その代数的ベクトル束のカテゴリの導来循環ホモロジーの間の標準的同型を確立する。局所化対を用いた完全複体のためのチェーン・キャラクターの新規構成により、著者たちは HC∗(X) ≅ HCder∗(vec(X)) を証明し、準compactかつ分離スキームに対しては HC∗(X) ≅ HC∗(per X) に拡張する。この結果は循環ホモロジーの計算ツールを提供し、競合する定義と比較して導来循環ホモロジー枠組みの正当性を裏付ける。

ABSTRACT

We prove that the cyclic homology of a scheme with an ample line bundle coincides with the cyclic homology of its category of algebraic vector bundles. As a byproduct of the proof, we obtain a new construction of the Chern character of a perfect complex on a ringed space.

研究の動機と目的

• アーマイントラインバンドルを備えたスキーム X の循環ホモロジーと、その代数的ベクトル束のカテゴリの導来循環ホモロジーの間の同型を確立すること。
• 局所化対と導来循環ホモロジーを用いて、層付き空間上の完全複体のためのチェーン・キャラクターの新規構成を提供すること。
• McCarthyの以前の定義とは異なり、アフィンスキームを超える範囲にまで自然に拡張される導来循環ホモロジー理論 HCder∗ を正当化すること。
• ハイパコホモロジーのアプローチを比較することで、次元が有限である場合の一致を示すことにより、スキームにおける循環ホモロジーの定義に関する基礎的問題を解決すること。
• 完全複体の局所化対 per X を通じて、同型を一般化し、任意の準compactかつ分離スキーム X に対して HC∗(X) ≅ HC∗(per X) を示すこと。

提案手法

• k-線形完全カテゴリ A に対して、導来カテゴリのモデルを用いて HCder∗(A) を定義し、QuillenのK理論枠組みを一般化する。
• 任意の層付き空間 X と k代数の層 OX に対して、層化された循環双複体 CC(OX) を用いて、HC∗(per X) → HC∗(X) という自然な写像を構成する。
• per X（完全複体とそのアセイクティブな複体）の局所化対構造を用いて、[18] の枠組みにより HC∗(per X) を定義する。
• アーマイントラインバンドルを備えたスキームに対して、HCder∗(vec(X)) ≅ HC∗(per X) を証明し、ベクトル束と完全複体を結びつける。
• 自然な函手 D(Qcoh X) → DqcX と Brown の表現定理を用いて、OX が DqcX 内でコンパクト生成子であることを示し、導来カテゴリの比較を可能にする。
• Mittag-Leffler の補題と逆極限の完全性を用いて、CC(OX) のハイパコホモロジー計算におけるコホモロジーの消滅を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アーマイントラインバンドルを備えたスキーム X に対して、その代数的ベクトル束のカテゴリの導来循環ホモロジー HCder∗(vec(X)) は、スキーム自体の循環ホモロジー HC∗(X) と同型であるか？
• RQ2 局所化対と循環ホモロジーを用いて、従来の方法とは独立して、層付き空間上の完全複体のチェーン・キャラクターを構成できるか？
• RQ3 McCarthyの定義とは異なり、導来循環ホモロジー理論 HCder∗ はアフィンスキームを超えて自然に拡張されるか？
• RQ4 任意の準compactかつ分離スキーム X に対して、スキーム X の循環ホモロジーはその完全複体のカテゴリ per X の循環ホモロジー HC∗(per X) と同型であるか？
• RQ5 層化された循環複体 CC(OX) のハイパコホモロジーと、対応する代数的構造の循環ホモロジーの間の関係は何か？

主な発見

• 任意の体 k 上のスキーム X でアーマイントラインバンドルを備えるものに対して、標準的同型 HC∗(X) ≅ HCder∗(vec(X)) が成り立つ。
• X 上の完全複体 P のチェーン・キャラクターは、HC∗(per pt) → HC∗(per X) → HC∗(X) の合成を通じて、ch([k]) ∈ HC∗(k) の像として実現され、これにより新規な構成が得られる。
• ティルティングバンドルを備えた滑らかで射影的多様体に対しては、チェーン・キャラクターが K0(X) ⊗Z HC∗(k) ≅ HC∗(X) を誘導し、明示的な計算が可能になる。
• k代数 A に対して、導来循環ホモロジー HCder∗(A) は McCarthy の HCMcC∗(proj(A)) と一致するが、McCarthyの理論が失敗する非アフィンスキームへも拡張可能である。
• 任意の準compactかつ分離スキーム X に対して、スキーム X の循環ホモロジーは、完全複体の局所化対の循環ホモロジー HC∗(per X) と同型である。
• 自然な函手 D(Qcoh X) → DqcX は同値であり、これにより OX が DqcX 内でコンパクト生成子であることが示され、導来カテゴリの比較が可能になる。