[論文レビュー] On the cyclic subgroup separability of free products of two groups with amalgamated subgroup

E. V. Sokolov|ArXiv.org|Aug 21, 2007

Geometric and Algebraic Topology参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、巡回的副群を有する群の自由積における $p$-分離性の十分条件を確立する。$p'$-孤立な巡回部分群の $p$-分離性について、自由因子が自由群または有限生成の残余 $p$-有限な冪零群である場合、自由積の残余 $p$-有限性が、すべての $p'$-孤立な巡回部分群の $p$-分離性を示すことを証明する。これは、アーマルガメートド・プロダクトにおける部分群分離性に関する既知の結果を拡張する。

ABSTRACT

Let $G$ be a free product of two groups with amalgamated subgroup, $π$ be either the set of all prime numbers or the one-element set \{$p$\} for some prime number $p$. Denote by $Σ$ the family of all cyclic subgroups of group $G$, which are separable in the class of all finite $π$-groups. Obviously, cyclic subgroups of the free factors, which aren't separable in these factors by the family of all normal subgroups of finite $π$-index of group $G$, the subgroups conjugated with them and all subgroups, which aren't $π^{\prime}$-isolated, don't belong to $Σ$. Some sufficient conditions are obtained for $Σ$ to coincide with the family of all other $π^{\prime}$-isolated cyclic subgroups of group $G$. It is proved, in particular, that the residual $p$-finiteness of a free product with cyclic amalgamation implies the $p$-separability of all $p^{\prime}$-isolated cyclic subgroups if the free factors are free or finitely generated residually $p$-finite nilpotent groups.

研究の動機と目的

• 巡回的アーマルガメートド・プロダクトにおけるすべての $p'$-孤立な巡回部分群が $p$-分離可能であるような条件を特定すること。
• アーマルガメートド・プロダクトにおける巡回部分群分離性に関する既知の結果を、アーマルガメートド・サブグループを有する自由積の状況に拡張すること。
• このようなアーマルガメートド・プロダクト内における有限 $p$-群のクラス内で分離可能な巡回部分群の族を特徴付けること。
• 全体群の $p$-有限性とその $p'$-孤立な巡回部分群の $p$-分離性との関係を調査すること。
• 分離性のための十分条件を確立するために、$H$-フィルトレーションと $K$-フィルトレーションの概念を一般化すること。

提案手法

• 本稿は、自由因子 $A$ および $B$ における $H$-フィルトレーションと $K$-フィルトレーションの概念を用いて、$G = A*_H B$ における分離性を分析する。
• $(H,K,\varphi)$-適合である有限指数の正規部分群の族 $\Omega_A$ および $\Omega_B$ を定義し、それらを用いて巡回部分群の分離性を特徴付ける。
• 証明は、特に交換子と中心化子に注目し、すべての有限 $p$-群への準同型において単位元に写らない要素を分析することに依存する。
• 部分群が有限 $p$-群のクラスにおいて分離可能でない場合、すべてのこのような準同型においてその部分群に写る、部分群の外にある要素が存在するという性質を応用する。
• 証明は、$G$ における巡回部分群の構造、特に $A$ や $B$ に含まれる部分群に共役であるものに注目し、それらが有限 $p$-群への準同型においてどのように振る舞うかを検討する。
• 特に、$p'$-孤立な部分群はその位数が $p$ と互いに素であるものであり、この性質を用いて、残余 $p$-有限性に矛盾する非自明な交換子を除外する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 巡回的アーマルガメーションを伴う自由積において、すべての $p'$-孤立な巡回部分群が $p$-分離可能であるような条件は何か？
• RQ2 アーマルガメートド・プロダクトの残余 $p$-有限性とその $p'$-孤立な巡回部分群の $p$-分離性との関係は何か？
• RQ3 自由因子における $H$-フィルトレーションと $K$-フィルトレーションが、アーマルガメートド・プロダクトにおける巡回部分群の分離性を保証するために果たす役割は何か？
• RQ4 自由因子が自由群または有限生成の残余 $p$-有限な冪零群である場合、$p'$-孤立な巡回部分群の $p$-分離性は保証されるか？
• RQ5 すべての $p$-群準同型において非自明な交換子が自明化されないような、アーマルガメートド部分群および自由因子の構造的制約は何か？

主な発見

• 自由因子 $A$ および $B$ が自由群または有限生成の残余 $p$-有限な冪零群である場合、$G$ の残余 $p$-有限性は、すべての $p'$-孤立な巡回部分群の $p$-分離性を示す。
• すべての $p$-分離可能な $p'$-孤立な巡回部分群の族は、$\Lambda_A^p \cup \Lambda_B^p$ に共役でないすべての部分群の族と一致する。ここで $\Lambda_A^p$ および $\Lambda_B^p$ は、それぞれ $\Omega_A^p$ および $\Omega_B^p$ の部分群によって分離できない巡回部分群の族である。
• $\Omega_A$ が $H$-フィルトレーションであり $\Omega_B$ が $K$-フィルトレーションであるという条件は、$\Lambda_A^p \cup \Lambda_B^p$ に共役でないすべての $p'$-孤立な巡回部分群の $p$-分離性を保証する十分条件であり、以前の残余有限性に関する結果を一般化する。
• $\langle u \rangle$ が $G$ の $p'$-孤立な巡回部分群であるが $p$-分離可能でない場合、すべての有限 $p$-群への準同型 $\psi$ に対して $v\psi \in \langle u\psi \rangle$ を満たすような要素 $v$ は、$u$ と可換でなければならない。これは、$u$ が $A$ や $B$ の部分群に共役でない限り、矛盾を引き起こす。
• 本稿は、$b \in B \setminus K$ に対して $b^{-1}Kb \cap K \neq 1$ であるならば、すべての $p$-群準同型において単位元に写る非自明な交換子 $g = [b^{-1}f_n b, f_n]$ を構成できることを示している。これは残余 $p$-有限性に反する。
• 証明の結論として、すべての $b \in B \setminus K$ に対して $b^{-1}Kb \cap K = 1$ でなければならないことが示され、これは $G$ における $p'$-孤立な巡回部分群の $p$-分離性のための必要条件である。