[論文レビュー] On the Davis-Wielandt shell of an operator and the Davis-Wielandt index of a normed linear space

Pintu Bhunia, ‎Debmalya Sain+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 27, 2020

Holomorphic and Operator Theory参考文献 16被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、ノルム線形空間のデイヴィス＝ヴィランダ指数を導入し、作用素論およびバナッハ空間幾何学とその関係を確立する。作用素の有界な作用素空間に等価なノルムを定義する修正デイヴィス＝ヴィランダ半径を定義し、正多角形の底面を持つ角柱や特定の六角形・八角形断面を有する3次元の多面体バナッハ空間について、角パラメータの正弦および正接関数を含む明示的な公式を用いて、正確なデイヴィス＝ヴィランダ指数を計算する。主な貢献は、単位球の極点と支援関数を用いて、任意の多面体バナッハ空間の指数を推定する一般的手法の確立である。

ABSTRACT

We study the Davis-Wielandt shell and the Davis-Wielandt radius of an operator on a normed linear space $\mathcal{X}$. We show that after a suitable modification, the modified Davis-Wielandt radius defines a norm on $\mathcal{L}(\mathcal{X})$ which is equivalent to the usual operator norm on $\mathcal{L}(\mathcal{X})$. We introduce the Davis-Wielandt index of a normed linear space and compute its value explicitly in case of some particular polyhedral Banach spaces. We also present a general method to estimate the Davis-Wielandt index of any polyhedral Banach space.

研究の動機と目的

• ノルム線形空間上での作用素のデイヴィス＝ヴィランダ殻および半径を定義・研究すること。
• 作用素ノルムおよび数値域に関連する新しい幾何的不変量として、ノルム線形空間のデイヴィス＝ヴィランダ指数を導入すること。
• 有界線形作用素空間に標準的作用素ノルムと同値なノルムを定義する修正デイヴィス＝ヴィランダ半径を確立すること。
• 正多角形または対称的断面を有する3次元の多面体バナッハ空間について、デイヴィス＝ヴィランダ指数の正確な値を計算すること。
• 多面体バナッハ空間のデイヴィス＝ヴィランダ指数を推定する一般手法を、単位球の支援関数および極点を用いて開発すること。

提案手法

• T ∈L(X) および x ∈SX に対して、DW(Tx) = {(x*(Tx), ||Tx||²) : x* ∈J(x)} として、点 x におけるデイヴィス＝ヴィランダ集合を定義する。
• デイヴィス＝ヴィランダ殻 DW(T) = {(x*(Tx), ||Tx||²) : (x,x*) ∈Π} およびデイヴィス＝ヴィランダ半径 dw(T) = sup{√|x*(Tx)|² + ||Tx||⁴ : (x,x*) ∈Π} を導入する。
• L(X) 上のノルムを定義する修正デイヴィス＝ヴィランダ半径 dw*(T) = sup{√|x*(Tx)|² + ||Tx||² : (x,x*) ∈Π} を提案し、これは標準的作用素ノルムと同値である。
• ノルム線形空間 X に対して、デイヴィス＝ヴィランダ指数 ηdw(X) = inf{dw(T) : T ∈SL(X)} および修正指数 ηdw*(X) = inf{dw*(T) : T ∈SL(X)} を定義する。
• 有限次元空間における DW(Tx) の凸包を特徴付けるために、Krein-Milman定理および単位球の極点構造を用いる。
• 多面体バナッハ空間では、単位球の面に対応する支援関数を分析し、それらが単位球面上に作用する様子を評価することで指数を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 L(X) 上でのデイヴィス＝ヴィランダ半径と標準的作用素ノルムの関係は何か？
• RQ2 ノルム線形空間のデイヴィス＝ヴィランダ指数は、その数値指数とどのように関係するか？
• RQ3 対称的または正多角形断面を有する3次元の多面体バナッハ空間のデイヴィス＝ヴィランダ指数の正確な値は何か？
• RQ4 任意の多面体バナッハ空間のデイヴィス＝ヴィランダ指数を推定する一般的手法を開発できるか？
• RQ5 多面体バナッハ空間 X に対して、等式 ηdw(X) = √(n²(X) + 1) が成り立つ条件は何か？

主な発見

• 修正デイヴィス＝ヴィランダ半径 dw*(T) は、L(X) 上のノルムを定義し、これは標準的作用素ノルムと同値である。
• 頂点が ±(1,1,1), ±(-1,1,1), などである正方形底面の直角角柱に2つの正四面体を接合して形成される単位球を有する3次元の多面体バナッハ空間では、デイヴィス＝ヴィランダ指数は ηdw(X) = √5 / 2 である。
• 頂点が (cos((j-1)π/n), sin((j-1)π/n), ±1) および (0,0,±2) を有する3次元の多面体バナッハ空間では、n が奇数のときデイヴィス＝ヴィランダ指数は √(sin²(π/(2n)) + 1)、n が偶数のときは √(tan²(π/(2n)) + 1) である。
• 正2n角形底面を有する3次元の直角角柱では、n が奇数のときデイヴィス＝ヴィランダ指数は √(sin²(π/(2n)) + 1)、n が偶数のときは √(tan²(π/(2n)) + 1) であり、角柱の高さに依存しない。
• 正2n角形単位球を有する2次元の多面体バナッハ空間のデイヴィス＝ヴィランダ指数は、3次元の場合と同一の公式で与えられ、高さに依存しないことが確認された。
• 任意のn次元多面体バナッハ空間のデイヴィス＝ヴィランダ指数の下界は、min{ξ₁, ..., ξₘ} で与えられ、ここで ξᵢ = minₓ∈SX max₁≤ᵣ≤ⁿ √(|fᵢᵣ(x)|² + 1) であり、fᵢᵣ は極点における支援関数である。