[論文レビュー] On the de Rham cohomology of solvmanifolds

Sergio Console, Anna Fino|ArXiv.org|Dec 10, 2009

Geometry and complex manifolds参考文献 13被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、D. ウィットの可解リー群における格子に関する超剛性定理を用いて、コンパクトなソルブマニフォールドのde Rhamコホモロジーに関するD. グアンの結果の新しい証明を提供する。任意のコンパクトなソルブマニフォールド $G/\Gamma$ に対して、有限指数部分群 $\tilde{\Gamma}$ と微分同相なソルブマニフォールド $\tilde{G}/\tilde{\Gamma}$ が存在し、モストウ条件を満たすことが示され、これにより元の $G$ と $\Gamma$ が条件を満たさない場合でも、Lie代数コホモロジーを用いたde Rhamコホモロジーの計算が可能になる。

ABSTRACT

By using results by D. Witte on the superigidity of lattices in solvable Lie groups we get a different proof of a recent remarkable result obtained by D. Guan on the de Rham cohomology of a compact solvmanifold, i.e. of a quotient of a connected and simply connected solvable Lie group $G$ by a lattice $Γ$. This result can be applied to compute the Betti numbers of a compact solvmanifold $G/Γ$ even in the case that the solvable Lie group $G$ and the lattice $Γ$ do not satisfy the Mostow condition.

研究の動機と目的

• 超剛性定理を用いて、グアンの結果に関するソルブマニフォールドのde Rhamコホモロジーに関する代替証明を提供すること。
• 有限指数部分群 $\tilde{\Gamma}$ とモストウ条件を満たす微分同相なソルブマニフォールド $\tilde{G}/\tilde{\Gamma}$ の存在を確立すること。
• 元の $G$ と $\Gamma$ がモストウ条件を満たさない場合でも、de Rhamコホモロジー $H^{*}_{dR}(G/\Gamma)$ をLie代数コホモロジー $H^{*}(\mathfrak{g})$ を用いて計算可能にする。
• 特に、ほぼアーベルリー群の文脈において、コホモロジー計算の適用範囲をモストウ条件を満たさない場合にまで拡張すること。

提案手法

• 可解リー群における格子に関するD. ウィットの超剛性結果を用いて、マルツェフの分解構成を精緻化する。
• コンパクトトーラス $T_{cpt}$ を用いて、$T_{cpt} \ltimes G$ の形の新しい simply connected 可解リー群 $\tilde{G}$ を構成する。
• $\mathcal{A}(Ad_{\tilde{G}}(\tilde{G})) = \mathcal{A}(Ad_{\tilde{G}}(\tilde{\Gamma}))$ を満たす有限指数部分群 $\tilde{\Gamma} \subset \Gamma$ を特定する。
• ボレル密度定理を用いて、$G$ と $\Gamma$ の随伴像の代数的閉包を最大コンパクトトーラスを通じて関連付ける。
• モストウ条件が成立する場合、$H^{*}_{dR}(G/\tilde{\Gamma}) \cong H^{*}(\tilde{\mathfrak{g}})$ が成り立つことを利用する。
• $\Gamma/\tilde{\Gamma}$ が $H^{*}_{dR}(G/\tilde{\Gamma})$ に作用する有限群の不変部分空間として $H^{*}_{dR}(G/\Gamma)$ を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトなソルブマニフォールド $G/\Gamma$ のde Rhamコホモロジーは、$G$ と $\Gamma$ がモストウ条件を満たさない場合でも計算可能か？
• RQ2 $G/\Gamma$ の有限被覆 $\tilde{G}/\tilde{\Gamma}$ で、$\tilde{G}$ と $\tilde{\Gamma}$ がモストウ条件を満たすものが存在するか？
• RQ3 ウィットの超剛性定理を用いて、ソルブマニフォールドコホモロジーに関するグアンの結果の新しい証明が可能か？
• RQ4 随伴作用の固有値にどのような条件が課されると、$\mathcal{A}(Ad_G(G)) \neq \mathcal{A}(Ad_G(\Gamma))$ が成り立つか？
• RQ5 モストウ条件が成立しない場合、ソルブマニフォールドのコホモロジーとその有限被覆のコホモロジーの関係は何か？

主な発見

• 任意のコンパクトなソルブマニフォールド $G/\Gamma$ に対して、有限指数部分群 $\tilde{\Gamma} \subset \Gamma$ と simply connected 可解リー群 $\tilde{G}$ が存在し、$\mathcal{A}(Ad_{\tilde{G}}(\tilde{G})) = \mathcal{A}(Ad_{\tilde{\Gamma}}(\tilde{\Gamma}))$ を満たす。
• de Rhamコホモロジー $H^{*}_{dR}(G/\Gamma)$ は、有限群 $\Gamma/\tilde{\Gamma}$ が $H^{*}_{dR}(G/\tilde{\Gamma})$ に作用する不変部分空間と同型である。
• $H^{*}_{dR}(G/\tilde{\Gamma})$ はLie代数コホモロジー $H^{*}(\tilde{\mathfrak{g}})$ と同型であり、明示的な計算が可能になる。
• 導分作用の固有値 $\lambda_k$ に対して $i\pi$ がそれらの有理数線形結合でない場合、モストウ条件が成立し、$H^{*}_{dR}(G/\Gamma) \cong H^{*}(\mathfrak{g})$ が成り立つ。
• $\eta = \pi$ のハイパーエリプティック曲面の例では、$H^{1}_{dR}(G/\Gamma) \cong \text{span}\langle e^3, e^4 \rangle$ であり、モストウ条件の不成立にもかかわらず $H^{1}(\mathfrak{g})$ と一致する。
• この手法は、ほぼアーベルリー群に適用可能であり、第一ベッチ数およびコホモロジー計算に関する既知の結果を拡張する。