[論文レビュー] On the deep-water and shallow-water limits of the intermediate long wave equation from a statistical viewpoint

Guopeng Li, Tadahiro Oh+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 7, 2022

Advanced Mathematical Physics Problems被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、深海（δ→∞）および浅海（δ→0）極限における中間長波（ILW）方程式のギブズ測度および不変力学の収束を確立する。ウィック再正規化とコンパクト性の議論を用いて、深海極限ではILWギブズ測度が全 Variation でベンジャミン＝オンォ（BO）測度に収束し、浅海極限ではスケーリングを施した後、弱収束してKorteweg-de Vries（KdV）測度に収束することを証明するが、浅海領域では測度が互いに特異的であるにもかかわらずである。結果は、非焦点型の場合を除き、一般化ILWに対しても拡張可能である。

ABSTRACT

(Due to the limit on the number of characters for an abstract set by arXiv, the full abstract can not be displayed here. See the abstract in the paper.) We study convergence problems for the intermediate long wave equation (ILW), with the depth parameter $δ> 0$, in the deep-water limit ($δ o \infty$) and the shallow-water limit ($δ o 0$) from a statistical point of view. In particular, we establish convergence of invariant Gibbs dynamics for ILW in both the deep-water and shallow-water limits. For this purpose, we first construct the Gibbs measures for ILW, $0 < δ< \infty$. As they are supported on distributions, a renormalization is required. With the Wick renormalization, we carry out the construction of the Gibbs measures for ILW. We then prove that the Gibbs measures for ILW converge in total variation to that for the Benjamin-Ono equation (BO) in the deep-water limit. In the shallow-water regime, after applying a scaling transformation, we prove that, as $δ o 0$, the Gibbs measures for the scaled ILW converge weakly to that for the Korteweg-de Vries equation (KdV). We point out that this second result is of particular interest since the Gibbs measures for the scaled ILW and KdV are mutually singular (whereas the Gibbs measures for ILW and BO are equivalent). We also discuss convergence of the associated dynamical problem. Lastly, we point out that our results also apply to the generalized ILW equation in the defocusing case, converging to the generalized BO in the deep-water limit and to the generalized KdV in the shallow-water limit. In the non-defocusing case, however, our results can not be extended to a nonlinearity with a higher power due to the non-normalizability of the corresponding Gibbs measures.

研究の動機と目的

• 深海（δ→∞）および浅海（δ→0）極限における中間長波（ILW）方程式の統計的収束を、ギブズ測度の観点から研究すること。
• 分布的空間に倣うため、δ∈(0,∞) におけるILWのギブズ測度をウィック再正規化を用いて構成すること。
• これらのギブズ測度が深海極限においてベンジャミン＝オンォ（BO）方程式の測度に、浅海極限においてスケーリングを施した後、Korteweg-de Vries（KdV）測度に収束することを証明すること。
• 一意性を要件としないコンパクト性の議論を用いて、ILWの不変ギブズ力学の存在を確立し、それぞれの極限においてBOおよびスケーリング済みKdV力学に収束することを示すこと。
• 非焦点型の場合の非正規化性のため、非焦点型では限界があるが、一般化ILW方程式に対しても結果を拡張すること。

提案手法

• ウィック再正規化を用いて、H^{-ε}(𝕋) 上のILWに対してギブズ測度を構成し、分布的空間上での定義可能性を保証すること。
• 分散作用素 Gδ のスペクトル解析を用いて、深海極限におけるILWとBOの基本ガウス測度の同値性を証明すること。
• 浅海領域におけるスケーリング変換を適用してKdV方程式に一致させ、ギブズ測度の弱収束を可能にすること。
• 切断されたギブズ測度に対するコンパクト性の議論を用いて、一意性を要件としない、時間全域におけるILWの不変力学を構成すること。
• 部分列 δm→∞ および δm→0 を抽出することで、不変力学の収束を確立し、それぞれBOおよびスケーリング済みKdV力学に収束することを示すこと。
• 特異性と極限を取り扱うために、変分解析および確率的解析のツール、特に全 Variation 収束および弱収束の確率測度を用いること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 δ→∞ のとき、中間長波（ILW）方程式のギブズ測度は、ベンジャミン＝オンォ（BO）方程式の測度に収束するか？
• RQ2 δ→0 のとき、スケーリング済みILW方程式のギブズ測度は、Korteweg-de Vries（KdV）方程式の測度に弱収束するか？
• RQ3 ILWとBOのギブズ測度は同値であるか？また、浅海領域におけるILWとKdV測度の関係とはどのように異なるか？
• RQ4 ILWの不変ギブズ力学を構成できるか？また、それぞれ深海および浅海極限においてBOおよびKdVの力学に収束するか？
• RQ5 これらの結果は、一般化ILW方程式にどの程度まで拡張可能か？特に非焦点型の場合にはどうか？

主な発見

• ウィック再正規化のおかげで、分布に倣うにもかかわらず、δ→∞ のときILWのギブズ測度は全 Variation でベンジャミン＝オンォ方程式の測度に収束する。
• 適切なスケーリングを施した後、浅海領域におけるILWのギブズ測度はδ→0 のとき弱収束してKorteweg-de Vries方程式の測度に収束するが、測度同士が互いに特異的であるにもかかわらずである。
• コンパクト性の議論を用いて、ILWの不変ギブズ力学が構成され、部分列 δm→∞ および δm→0 を用いることで、それぞれBOおよびスケーリング済みKdV力学に収束することが示された。
• 結果は、非焦点型を除き、一般化ILW方程式に対しても拡張可能であり、それぞれの極限において一般化BOおよび一般化KdV測度に収束する。
• 非焦点型では、高次の非線形性のため、対応するギブズ測度が非正規化となるため、この方法は失敗する。
• 可算な稠密部分集合を用いて、H^{0-}(𝕋) への解析を拡張し、分離可能性を保証するとともに、分布的位相における収束を可能にした。