[論文レビュー] On the defining relations of the affine Lie superalgebras and their quantized universal enveloping superalgebras

Hiroyuki Yamane|ArXiv.org|Mar 15, 1996

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 6被引用数 23

ひとこと要約

本稿は、アフィン・リースーパーアルジブラおよびその量子化普遍包あくりースーパーアルジブラ（Uh(G)）の定義関係を確立し、Kac-Moody代数のSerre関係をスーパー代数の設定に拡張する。Weyl群型の同型写像と普遍リー・スーパーアルジブラ ¯G を用いて、Uh(ˆsl(m|n)(1)) の明示的関係を導出し、特に m=n の場合のDrinfeldの実現および新しいSerre型関係を含む。主な貢献は、バーデ群作用と古典的関係の量子版を用いて、Uh(ˆsl(m|m)(1)) の完全な生成元と関係式の集合を確立することにある。

ABSTRACT

In this paper, we give defining relations of the affine Lie superalgebras an and defining relations of a super-version of the Drinfeld[D]-Jimbo[J] affine quantized universal enveloping algebras. As a result, we can exactly define the affine quantized universal enveloping superalgebras with generators and relations. Moreover we give a Drinfeld's realizations of $U_h({\hat {sl}}(m|n)^{(1)})$.

研究の動機と目的

• Kac-Moody代数のSerre関係を、特に ˆsl(m|n)(1) のアフィン・リースーパーアルジブラに一般化すること。
• Weyl群型同型写像 {Li} を普遍的性質によって持ち上げる普遍リー・スーパーアルジブラ ¯G を構成し、アフィン・リースーパーアルジブラの定義関係を捉えること。
• U0(G) = Uh(G)/hUh(G) が ¯G の古典的関係を回復するように、Uh(G) の定義関係を導出すること。
• Drinfeld型実現として、Uh(ˆsl(m|m)(1)) を、古典的関係の量子版（特に m=n の場合の新しいSerre型関係を含む）を特定することで構成すること。
• h→0 の極限で ˆsl(m|n)(1) 上の古典的 {Li} の作用に還元される、Uh(ˆsl(m|n)(1)) 上のバーデ群作用を確立すること。

提案手法

• Weyl群型同型写像 {Li} を普遍的性質によって持ち上げる {¯Li} に持ち上げる普遍リー・スーパーアルジブラ ¯G を導入し、定義関係の直接計算を可能にする。
• Uh(G) に非退化な対称双一次形式を用いたDrinfeld-Jimbo量子双対構成を適用し、位相的自由性と普遍R行列の存在を保証する。
• Milnor-Mooreの定理を用いて、U0(G) の原始的元がリー・スーパーアルジブラ G0 をなすことを示し、これは ¯G の商であることを示す。
• Uh(ˆsl(m|n)(1)) 上にバーデ群作用を導入し、h→0 の極限で ˆsl(m|n)(1) 上の古典的 {Li} の作用に還元されることを示す。
• h(s)ik および ˆ¯ψ(s)ir の生成関数を用いて、Tωi(Ei)、Tωi(Fi)、Kδ を含む明示的交換関係を導出する。
• 古典的射影 j: ¯G → G の核関係を組み合わせることで、Uh(ˆsl(m|m)(1)) のDrinfeld実現を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 m=n のとき、ˆsl(m|m)(1) のアフィン・リースーパーアルジブラの定義関係は何か。ただし、¯G ≠ G である。
• RQ2 Drinfeld-Jimbo量子群 Uh(G) は、明示的な生成元と関係式を用いて、どのように量子化普遍包あくりースーパーアルジブラとして実現できるか。
• RQ3 m=n の場合、Uh(ˆsl(m|m)(1)) に現れる古典的Serre関係の量子版は何か。
• RQ4 Uh(ˆsl(m|n)(1)) 上のバーデ群作用は、古典的アフィン・リースーパーアルジブラ上のWeyl群型同型写像 {Li} とどのように関係するか。
• RQ5 j: ¯G → G の核に対応する、h→0 の極限で消える Uh(ˆsl(m|m)(1)) 上の新しい関係は何か。

主な発見

• ˆsl(m|m)(1) において、古典的リー・スーパーアルジブラ ˆsl(m|m)(1) は ¯G の商であり、ker j = I ⊗C[t,t−1] である。ここで I は単位行列である。
• Uh(ˆsl(m|m)(1)) の定義関係は、定理6.6.1の関係に加え、(8.3.5) の核関係の量子版を加えることで得られる。
• (αi, αi) = 0 のとき、[hik, Tωj(Fj)] = −1/kQij,k Kk/2δ Tωj+m+k(Fj) および Ei について同様の関係が、古典的交換関係の量子版として導出される。
• m=n の場合、Uh(ˆsl(m|m)(1)) に、古典的極限で消える新しいSerre型関係が同定される。具体的には、(αi, αk) = (αj, αj) = 0 かつ (αi, αj) = −(αj, αk) ≠ 0 のとき、[[Ei, Ej], [Ej, Ek]] = 0 が成り立つ。
• Uh(ˆsl(m|n)(1)) 上のバーデ群作用は、ˆsl(m|n)(1) 上の古典的 {Li} の作用を上に持ち上げており、Beckの議論を用いて、定義関係の完全な集合を導出するのにも用いられる。
• Pk≥0 ψikzk = Ki exp((q−q−1)∑r≥1 hir zr) および φik について同様の生成関数は、Uh(ˆsl(m|n)(1)) の量子Serre関係を簡潔に表現する方法を提供する。