[論文レビュー] On the definition and the properties of the principal eigenvalue of some nonlocal operators

Henri Berestycki, Jérôme Coville+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2015

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 74被引用数 124

ひとこと要約

本稿は、非局所作用素 $Σ_\Omega + a$ の一般化された主固有値の複数の定義が等価であることを確立する。$Σ_\Omega[\varphi] = \int_\Omega K(x,y)\varphi(y) abla y$ である。スケーリングパラメータ $\sigma \to 0$ の下で、スケーリングされた非局所作用素の主固有値が、核 $J$ の2次モーメントによって決定される拡散係数を有するラプラシアンを含む局所的楕円型作用素の主固有値に収束することを証明する。これにより、非局所的および古典的拡散モデルの間の厳密な接続が得られる。

ABSTRACT

In this article we study some spectral properties of the linear operator $\\mathcal{L}\\_{\\Omega}+a$ defined on the space $C(\\bar\\Omega)$ by :$$ \\mathcal{L}\\_{\\Omega}[\\varphi] +a\\varphi:=\\int\\_{\\Omega}K(x,y)\\varphi(y)\\,dy+a(x)\\varphi(x)$$ where $\\Omega\\subset \\mathbb{R}^N$ is a domain, possibly unbounded, $a$ is a continuous bounded function and $K$ is a continuous, non negative kernel satisfying an integrability condition. We focus our analysis on the properties of the generalised principal eigenvalue $\\lambda\\_p(\\mathcal{L}\\_{\\Omega}+a)$ defined by $$\\lambda\\_p(\\mathcal{L}\\_{\\Omega}+a):= \\sup\\{\\lambda \\in \\mathbb{R} \\,|\\, \\exists \\varphi \\in C(\\bar \\Omega), \\varphi\ extgreater{}0, \ extit{such that}\\, \\mathcal{L}\\_{\\Omega}[\\varphi] +a\\varphi +\\lambda\\varphi \\le 0 \\, \ ext{in}\\;\\Omega\\}. $$ We establish some new properties of this generalised principal eigenvalue $\\lambda\\_p$. Namely, we prove the equivalence of different definitions of the principal eigenvalue. We also study the behaviour of $\\lambda\\_p(\\mathcal{L}\\_{\\Omega}+a)$ with respect to some scaling of $K$. For kernels $K$ of the type, $K(x,y)=J(x-y)$ with $J$ a compactly supported probability density, we also establish some asymptotic properties of $\\lambda\\_{p} \\left(\\mathcal{L}\\_{\\sigma,m,\\Omega} -\\frac{1}{\\sigma^m}+a\ ight)$ where $\\mathcal{L}\\_{\\sigma,m,\\Omega}$ is defined by $\\displaystyle{\\mathcal{L}\\_{\\sigma,m,\\Omega}[\\varphi]:=\\frac{1}{\\sigma^{2+N}}\\int\\_{\\Omega}J\\left(\\frac{x-y}{\\sigma}\ ight)\\varphi(y)\\, dy}$. In particular, we prove that $$\\lim\\_{\\sigma\ o 0}\\lambda\\_p\\left(\\mathcal{L}\\_{\\sigma,2,\\Omega}-\\frac{1}{\\sigma^{2}}+a\ ight)=\\lambda\\_1\\left(\\frac{D\\_2(J)}{2N}\\Delta +a\ ight),$$where $D\\_2(J):=\\int\\_{\\mathbb{R}^N}J(z)|z|^2\\,dz$ and $\\lambda\\_1$ denotes the Dirichlet principal eigenvalue of the elliptic operator. In addition, we obtain some convergence results for the corresponding eigenfunction $\\varphi\\_{p,\\sigma}$.

研究の動機と目的

• 非有界領域上における非局所作用素の一般化された主固有値 $\lambda_p(\mathcal{L}_\Omega + a)$ を定義し、分析すること。
• 複数の定式化の間の等価性を証明することで、主固有値の定義に生じる曖昧さを解消すること。
• 核 $K(x,y) = \sigma^{-N} J((x-y)/\sigma)$ のスケーリング下での $\lambda_p$ の漸近的挙動を研究すること、特に $\sigma \to 0$ の場合。
• スケーリングされた非局所作用素に対応する固有関数 $\varphi_{p,\sigma}$ が、極限局所作用素の第一固有関数に収束することを確立すること。

提案手法

• 変分的特徴づけを用い、$\lambda_p$ を次式の sup-inf 公式により定義する：$\lambda_p = \sup_{\varphi > 0} \inf_x \left( -\frac{\mathcal{L}_\Omega[\varphi](x) + a(x)\varphi(x)}{\varphi(x)} \right)$。
• コラッツ＝ヴァイランド型特徴づけを適用し、$\mathcal{L}_\Omega[\varphi] + a\varphi + \lambda\varphi \leq 0$ を満たす正の下解が存在するような $\lambda$ の上界として $\lambda_p$ を定義する。
• スケーリング極限を解析するため、$\mathcal{L}_{\sigma,2,\Omega}[\varphi] = \frac{1}{\sigma^{2+N}} \int_\Omega J\left(\frac{x-y}{\sigma}\right) \varphi(y) abla y$ を考察する。ここで $J$ は compact に台を持つ確率密度関数である。
• エネルギー推定と $L^2_{\text{loc}}$ における弱収束を用いて、スケーリングされた固有関数 $\varphi_{p,\sigma}$ が局所作用素 $\frac{D_2(J)}{2N} \Delta + a$ の第一固有関数に収束することを示す。ここで $D_2(J) = \int_{\mathbb{R}^N} J(z)|z|^2\,dz$ である。
• 非局所的ディリクレ型形式とラプラシアンとの関係を、$\iint \rho(z)[u(x+z)-u(x)][\varphi(x+z)-\varphi(x)]\,dzdx$ を含む対称的双線形形式の恒等式を用いて、極限において確立する。
• コンパクトネスの議論とソボレフ空間の埋め込みを用いて、$L^2_{\text{loc}}(\Omega)$ 内の固有関数の収束する部分列を抽出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非有界領域上における非局所作用素の一般化された主固有値 $\lambda_p$ の異なる定義は、等価であるか？
• RQ2 スケーリング $\sigma \to 0$ の下で、主固有値 $\lambda_p(\mathcal{L}_{\sigma,2,\Omega} - \sigma^{-2} + a)$ はどのように振る舞うか？
• RQ3 対応する固有関数 $\varphi_{p,\sigma}$ は、極限局所楕円型作用素の第一固有関数に収束するか？
• RQ4 スケーリング $\sigma \to 0$ の下で、$\lambda_p(\mathcal{L}_{\sigma,2,\Omega} - \sigma^{-2} + a)$ の明確な漸近的極限は何か？
• RQ5 相互作用範囲がゼロに近づく極限において、非局所作用素は局所的拡散作用素で近似可能か？

主な発見

• 一般化された主固有値 $\lambda_p(\mathcal{L}_\Omega + a)$ は、sup-inf 公式やコラッツ＝ヴァイランド型特徴づけといった複数の定式化と等価である。
• スケーリング $\sigma \to 0$ の下で、スケーリングされた主固有値は、$\lim_{\sigma \to 0} \lambda_p\left(\mathcal{L}_{\sigma,2,\Omega} - \frac{1}{\sigma^2} + a\right) = \lambda_1\left(\frac{D_2(J)}{2N} \Delta + a\right)$ を満たす。ここで $D_2(J) = \int_{\mathbb{R}^N} J(z)|z|^2\,dz$ である。
• スケーリングされた非局所作用素に対応する固有関数 $\varphi_{p,\sigma}$ は、$\sigma \to 0$ の下で、局所作用素 $\frac{D_2(J)}{2N} \Delta + a$ の第一固有関数 $\varphi_1$ に $L^2_{\text{loc}}(\Omega)$ で収束する。
• $m=2$ の場合、$\lambda_p\left(\mathcal{L}_{\sigma,m,\Omega} - \sigma^{-m} + a\right)$ の漸近的極限は、局所的楕円型作用素 $\frac{D_2(J)}{2N} \Delta + a$ の主固有値に一致する。ここで、2次モーメント $D_2(J)$ が拡散係数を決定する。
• $0 < m < 2$ の場合、極限は $-\infty$ に、$m=0$ の場合、極限は $\sup_{x \in \Omega} a(x)$ に収束する。これは、スケーリング速度に応じた挙動の段階的転移を示している。
• 固有関数の収束は、エネルギーの上限と $L^2_{\text{loc}}$ における弱収束を用いて確立され、極限関数は局所固有値問題の弱形を満たす。