[論文レビュー] On the Deformation Quantization of super-Poisson Brackets

Martin Bordemann|ArXiv.org|May 24, 1996

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 4被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、シンプレクティック多様体 M 上のベクトル bundle E の双対グラスマンバンドルの断面空間上の超ポアソン括弧に対して、フェドソフ型の手続きを用いて変形量子化を構成する。この構成は、M のシンプレクティック構造、E へのファイバー計量、およびそれと整合する接続に依存し、超ポアソン構造に対する一貫性のあるスター積量子化をもたらす。

ABSTRACT

We show that for every vector bundle E over any given symplectic manifold M there exists an explicitly given super-Poisson bracket on the space of sections of the dual Grassmann bundle associated to E built out of symplectic structure of M, a fibre metric on E, and a connection in E compatible with the given fibre metric. Moreover, we construct a deformation quantization for this space of sections by means of a Fedosov type procedure.

研究の動機と目的

• シンプレクティック多様体上のベクトルバンドルに関連する超多様体上の超ポアソン括弧への変形量子化の拡張を図ること。
• 双対グラスマンバンドルの断面空間上にスター積を体系的に構成すること。
• シンプレクティック構造、ファイバー計量、および整合する接続といった幾何的データを、量子化手続きに統合すること。
• フェドソフの変形量子化フレームワークを、超ポアソン設定に一般化すること。

提案手法

• M のシンプレクティック形式、E へのファイバー計量、および E 上の整合する接続を用いて、双対グラスマンバンドルの断面に超ポアソン括弧を定義する。
• グラスマンバンドルに関連するジャンプバンドルに、量子変形をモデル化するための階数付き超接続を構成する。
• 平坦な超接続を生成するフェドソフ型の反復的手順を適用し、その水平断面がスター積を与える。
• 超接続の曲率とねじれを用いて、ゲージ同値を除いてスター積を定義する。
• 得られるスター積が結合的であり、形式的パラメータ ħ において超ポアソン括弧を変形することを保証する。
• 構成が選択に依存しない、すなわち超ゲージ同値を除いて一貫性を保つことを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ベクトルバンドルがシンプレクティック多様体上に持つ超ポアソン括弧に対して、体系的な変形量子化が構成可能か？
• RQ2 シンプレクティック構造、ファイバー計量、および整合する接続といった幾何的データは、量子化手続きにどのように統合可能か？
• RQ3 フェドソフ型の方法は、グラスマンバンドル上の超ポアソン構造へ自然に拡張可能か？
• RQ4 得られるスター積は結合的であり、古典的極限において元の超ポアソン括弧と同値か？
• RQ5 超接続およびその曲率は、量子積を定義する上で果たす役割は何か？

主な発見

• シンプレクティック多様体 M の構造、E へのファイバー計量、および整合する接続を用いて、双対グラスマンバンドルの断面空間上に明示的な超ポアソン括弧が構成された。
• フェドソフ型手続きを用いて変形量子化が実現され、双対グラスマンバンドルの断面にスター積が得られた。
• スター積は結合的であり、ħ → 0 の極限において超ポアソン括弧を変形する。
• 構成は接続の選択に依存しない、超ゲージ同値を除いて一貫性を保つ。
• この方法は、明示的な幾何的入力を伴って、フェドソフの変形量子化を超ポアソン設定に一般化する。
• 得られるスター積は、超接続の曲率とねじれを用いて明示的に計算可能である。