[論文レビュー] On the degree distribution of a growing network model

Linda Farczadi, Nicholas Wormald|arXiv (Cornell University)|Jan 5, 2014

Complex Network Analysis Techniques参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、各新しい頂点がランダムに選ばれた既存頂点に preferring attachment で接続し、さらにその隣人 k−1 人とも接続する成長的ランダムネットワークモデルにおける次数分布を分析する。頂点 i 時刻に追加された頂点の期待次数が k√(n/i) のように成長することを示し、次数系列が指数 3 のべき乗則分布に従うことを証明した。これは Barabási-Albert モデルおよび Bollobás-Riordan モデルの結果と一致する。

ABSTRACT

In this note we make some specific observations on the distribution of the degree of a given vertex in certain model of randomly growing networks. The rule for network growth is the following. Starting with an initial graph of minimum degree at least $k$, new vertices are added one by one. Each new vertex $v$ first chooses a random vertex $w$ to join to, where the probability of choosing $w$ is proportional to its degree. Then $k$ edges are added from $v$ to randomly chosen neighbours of $w$.

研究の動機と目的

• 新規頂点が初期に選ばれた頂点に preferring attachment で接続し、さらにその k−1 個の隣人とも接続する成長的ネットワークモデルの次数分布を分析すること。
• このモデルにおいて、与えられた頂点の次数の時間的成長を確立すること。
• このモデルが preferring attachment モデルの PA-class に属することを示し、既存の漸近的結果の適用を可能にすること。
• 頂点次数の次数分布およびモーメントの正確かつ漸近的表現を導出すること。
• 次数系列が指数 3 のべき乗則分布に従うことを示し、スケールフリー・ネットワークの挙動と整合すること。

提案手法

• 時間 i に追加された頂点の期待次数を求めるために再帰的期待値アプローチを用い、E[d_n(v_i)] = k√(n/i)(1 + O(1/i)) を示した。
• Bollobás-Riordan の LCD モデルおよび Ostroumova らの PA-class フレームワークの結果を応用し、分布的同等性を確立した。
• 母関数と Pólya の urn モデルを用いて、次数分布 P(d_n(v_i) = j) の正確な表現を導出した。
• ガンマ関数を用いた係数抽出法により、頂点次数の一次および二次モーメントの正確な公式を導出した。
• ガンマ関数の漸近的解析を用いて、期待次数および分散の主要項の振る舞いを導出した。
• パラメータ A = 1/2 および B = 0 を用いた PA-class 条件を適用し、このモデルが既知の preferring attachment ネットワークの結果と整合することを確認した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 この成長的ネットワークモデルにおいて、時間 i に追加された頂点の期待次数は時間経過とともにどのように変化するか？
• RQ2 このモデルにおける与えられた頂点の次数の正確な分布は何か？ また、既知の preferring attachment モデルと比較するとどうなるか？
• RQ3 このモデルの次数系列はべき乗則分布に従うか？ もしそうなら、指数は何か？
• RQ4 urn モデルおよび母関数を用いて、頂点次数のモーメントを正確に導出できるか？
• RQ5 次数分布の観点から、このモデルの挙動は Barabási-Albert モデルおよび Bollobás-Riordan モデルとどのように比較できるか？

主な発見

• 時間 i に追加された頂点の期待次数は、漸近的に k√(n/i) のように成長し、相対誤差項として O(1/i) を含む。
• このモデルの次数分布は、指数 3 のべき乗則に従う。漸近的結果 N_n(d) ≈ α(k,d) により、α(k,d) = 2k(k+1)/(d(d+1)(d+2)) が得られた。
• このモデルはパラメータ A = 1/2 および B = 0 の PA-class に属し、Ostroumova らの結果を直接応用可能となる。
• 次数 d_n(v_i) の一次モーメントは正確に E[d_n(v_i)] = kΓ(i)Γ(n+1/2)/(Γ(i+1/2)Γ(n)) であり、再帰的導出と一致する。
• 二次モーメントは E[d_n(v_i)^2] = k(k+1)n/i + 2E[d_n(v_i)] であり、期待次数に二次的依存性を示す。
• Pólya の urn モデルを用いて、頂点次数の有限標本確率を正確に導出し、二項係数および Pochhammer 記号を含む閉形式表現を得た。