[論文レビュー] On the degree-wise coherence of FI_G-modules

Eric Ramos|arXiv (Cornell University)|Jun 14, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 15被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、${\mathscr{FI}}_G$-加群が各次数で再帰的であることは、そのねじれ次数が有限であることと同値であることを確立し、群$G$や係数環$k$に制限を設けずに、そのような加群のなす圏がアーベル圏であることを証明する。この結果により、各次数で再帰的加群に対して強固な局所コホホロジー理論が構築可能となり、次元、正則性、双対性定理への応用が可能になる。

ABSTRACT

In this work we study a kind of coherence condition on FI_G-modules, which generalizes the usual notion of finite generation. We prove that a module is coherent, in the appropriate sense, if and only if its generators, as well as its torsion, appears in only finitely many degrees. Using this technical result, we prove that the category of coherent FI_G-modules is abelian, independent of any assumptions on the group G, or the coefficient ring k. Following this, we consider applications towards the local cohomology theory of FI_G-modules, introduced by Li and the author in previous work.

研究の動機と目的

• 各次数で再帰的${\mathscr{FI}}_G$-加群の明確な特徴づけを、有限ねじれ次数に基づいて行う。
• 群$G$ や係数環$k$に仮定を設けない状況でも、各次数で再帰的${\mathscr{FI}}_G$-加群のなす圏がアーベル圏であることを示す。
• 各次数で再帰的加群に対して局所コホホロジー理論を構築し、その構造的帰結を導出する。
• 無限大の導来関手と局所コホホロジー加群との間の双対性定理を証明する。

提案手法

• 生成子における有限生成性と有限関係次数に基づき、各次数での再帰的性を定義する。
• ねじれ次数$\operatorname{td}(V)$を、ねじれ元を含む次数の上限として定義する。
• 各次数での再帰的性が$\operatorname{td}(V) < \infty$と同値であることの証明により、Liの予想を解決する。
• 局所コホホロジー函手$H^i_{\mathfrak{m}}(V)$の構造を用いて、次元と正則性を定義する。
• 導来関手$D_\infty^b$と局所コホホロジーを関連付けるGrothendieckのスペクトル系列を構成する。
• 各次数で再帰的加群$V$（次元$d$）に対して、双対性同型$H^i_{D_\infty^{d+1}}(V) \cong H^{d+1-i}_{\mathfrak{m}}(V)$を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ${\mathscr{FI}}_G$-加群における各次数での再帰的性は、ねじれ次数が有限であることと同値か？
• RQ2 各次数で再帰的${\mathscr{FI}}_G$-加群のなす圏は、$G$ や $k$ に制限を設けずにアーベル圏をなすか？
• RQ3 各次数で再帰的加群の局所コホホロジー加群は、無限大の導出関手のねじれ部分加群を用いて計算可能か？
• RQ4 導来関手$D_\infty^b$と局所コホホロジー函手との間にはどのような関係があるか？
• RQ5 各次数で再帰的加群の正則性は、$\operatorname{reg}(V) = \max_i\{\deg(H^i_{\mathfrak{m}}(V)) + i\}$を満たすか？

主な発見

• 任意の群$G$および可換環$k$に対して、各次数で再帰的${\mathscr{FI}}_G$-加群のなす圏は、Noether性の仮定を設けずにアーベル圏をなす。
• ${\mathscr{FI}}_G$-加群が各次数で再帰的であることと、そのねじれ次数が有限であることとは同値であり、Liの予想が裏付けられる。
• 各次数で再帰的加群の局所コホホロジー加群自身もまた、各次数で再帰的である。
• 各次数で再帰的加群の次元は、$\dim_{{\mathscr{FI}}_G}(V) = \sup\{i \mid H^i_{\mathfrak{m}}(V) \neq 0\}$として定義され、$V$ が$\sharp$-フィルターである場合は$\infty$と定める。
• 各次数で再帰的加群の正則性は、$\operatorname{reg}(V) \leq \max_i\{\deg(H^i_{\mathfrak{m}}(V)) + i\}$を満たし、等号が成り立つと予想されている。
• 双対性同型$H^i_{D_\infty^{d+1}}(V) \cong H^{d+1-i}_{\mathfrak{m}}(V)$が、次元$d$の各次数で再帰的加群$V$に対して成り立つ。