[論文レビュー] On the Delay of Network Coding over Line Networks

Theodoros K. Dikaliotis, Alexandros G. Dimakis+2 more|ArXiv.org|Oct 20, 2009

Cooperative Communication and Network Coding参考文献 13被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、非均一な消失リンクを有するラインネットワークにおけるランダム線形ネットワークコーディングのエンドツーエンド遅延を分析する。遅延関数がバッチサイズに関して非減少であり、リンクの消失確率の関数として単純な式で有界であることを確立するとともに、マルティングール濃縮不等式を用いて、実際の遅延が期待値のまわりにきわめて集中することを証明する。

ABSTRACT

We analyze a simple network where a source and a receiver are connected by a line of erasure channels of different reliabilities. Recent prior work has shown that random linear network coding can achieve the min-cut capacity and therefore the asymptotic rate is determined by the worst link of the line network. In this paper we investigate the delay for transmitting a batch of packets, which is a function of all the erasure probabilities and the number of packets in the batch. We show a monotonicity result on the delay function and derive simple expressions which characterize the expected delay behavior of line networks. Further, we use a martingale bounded differences argument to show that the actual delay is tightly concentrated around its expectation.

研究の動機と目的

• 変動するリンク信頼性を有するラインネットワークにおけるネットワークコーディングの非線形遅延成分を特徴づけること。
• 遅延関数がバッチサイズ n に関して非減少であり、リンク消失確率の関数として有界であることを確立すること。
• 実際の遅延 T_n が高確率でその期待値のまわりにきわめて集中することを証明すること。
• フィードバックなしの損失のあるネットワークにおける有限バッチ遅延挙動を含む、最小カット容量に関する先行研究を拡張すること。

提案手法

• ℓ 個の消失リンクを有するラインネットワークをモデル化し、各リンクの消失確率 p_i は独立である。n パケットのバッチに対してランダム線形ネットワークコーディングを用いる。
• 期待遅延 E[T_n] を n/(1−max p_i) + D(n, p_1,…,p_ℓ) として導出する。ここで D は非線形遅延成分である。
• アズマ＝フーディング不等式に基づくマルティングール有界差分法を用いて、T_n が E[T_n] のまわりに集中することを証明する。
• ドーブのマルティングール構成を、到着地点で受信されるインノベイティブパケット数に適用し、逸脱確率を有界化する。
• ε_n = n^{3/4}/(1−max p_i) とすると、T_n が E[T_n] のまわりに高確率で集中することを示す。
• 複数のリンクが最悪の消失確率を持つ場合、遅延は非線形のままであるが、有界ではない。これは、2ホップネットワークに関する先行結果を拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非均一な消失確率を有するラインネットワークにおいて、バッチサイズ n の関数として遅延関数 D(n, p_1,…,p_ℓ) はどのように振る舞うか？
• RQ2 遅延関数はリンク消失確率の関数として有界であり、n に関して単調増加か？
• RQ3 大きな n に対して、実際の遅延 T_n がその期待値のまわりにどのように濃縮するか？
• RQ4 一意の最悪品質リンクとは対照的に、複数の最悪品質リンクが存在する場合、遅延関数にどのような影響を与えるか？
• RQ5 フィードバックなしの損失のあるラインネットワークにおいて、ランダム線形ネットワークコーディングは予測可能な遅延性能をどの程度達成できるか？

主な発見

• 遅延関数 D(n, p_1,…,p_ℓ) は n に関して非減少であり、∑_{i≠m} p_m/(p_m−p_i) で上から有界である。ここで p_m は最大消失確率である。
• 一意の最悪リンク（p_m）が存在する場合、遅延関数は非線形に増加し、消失確率の関数としてのみ有界である。
• 実際の遅延 T_n は期待値のまわりにきわめて集中しており、ε_n = n^{3/4}/(1−max p_i) に対して P(|T_n − E[T_n]| > ε_n) ≤ 2(1−max p_i)/n + o(1/n) が成り立つ。
• 大きな n に対して、ε_n は E[T_n] よりも非線形に小さいため、T_n が E[T_n] のまわりに高確率で集中することが示される。
• 複数のリンクが等しい最大消失確率を持つ場合、遅延関数は非線形のままであるが、有界ではない。これは、2ホップネットワークにおける √n 増加を示す先行研究と整合的である。
• 到着地点で受信されるインノベイティブパケット数の期待値が A·t − r(t) として示され、A は定数で r(t) は有界である。これにより、濃縮境界の導出が可能になる。