[論文レビュー] On the Density of Languages Accepted by Turing Machines and Other Machine Models

Óscar H. Ibarra, Ian McQuillan|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

semigroups and automata theory参考文献 16被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、1方向読み取り専用入力とリバーサルバウンド（反転回数が固定された回数以内に制限された）ワークテープを備えた非決定的チューリングマシンについて、密度（言語のすべての接頭辞がアルファベット上のすべての文字列である集合であること）が決定可能であることを確立している。主な貢献は、ストア言語の正則性を用いた決定可能性の証明であり、これにより1方向リバーサルバウンドキューおよびスタックオートマトンなどの関連モデルへと拡張される。一方、2本のこのようなテープを備えた決定的マシン、またはユニナリ非決定的マシンでは、決定不能性が示されている。

ABSTRACT

A language is dense if the set of all infixes (or subwords) of the language is the set of all words. Here, it is shown that it is decidable whether the language accepted by a nondeterministic Turing machine with a one-way read-only input and a reversal-bounded read/write worktape (the read/write head changes direction at most some fixed number of times) is dense. From this, it is implied that it is also decidable for one-way reversal-bounded queue automata, one-way reversal-bounded stack automata, and one-way reversal-bounded $k$-flip pushdown automata (machines that can "flip" their pushdowns up to $k$ times). However, it is undecidable for deterministic Turing machines with two 1-reversal-bounded worktapes (even when the two tapes are restricted to operate as 1-reversal-bounded pushdown stacks).

研究の動機と目的

• さまざまなマシンモデル、特にリバーサルバウンドストレージを備えたものについて、言語密度の決定可能性を特定すること。
• 密度であるという性質（つまり、すべての可能な接頭辞を含むこと）が、反転制限付きの動作を示すオートマトンに対して、アルゴリズム的に決定可能かどうかを調査すること。
• ポッシュダウンオートマトンからの決定可能性結果を、スタックテープがリバーサルバウンドのチューリングマシンを含むより広いクラスのマシンへと拡張すること。
• 決定可能と決定不能なケースの境界を特定すること、特にリバーサルバウンドテープの数に注目すること。

提案手法

• リバーサルバウンド非決定的チューリングマシンのストア言語（受理計算で到達可能な状態/ストア内容ペアの集合）の正則性を活用すること。
• このようなマシンのストア言語が正則であるという事実を用い、接頭辞集合の有効な解析を可能にすること。
• 密度問題を、アルファベット上の自由モノイドの接頭辞閉包が完全な文字列集合と等しいかどうかのチェックに還元すること。
• 閉包性質と還元を用いて、2本のリバーサルバウンドテープまたはユニナリアルファベットを持つモデルの決定不能性を示すこと。
• 停止問題からの還元を用いて決定不能性を証明し、特にチューリングマシンのリアルタイムシミュレーションを活用すること。
• シミュレーションとリバーサルバウンド操作の下での閉包性を用いて、スタックオートマトン、キュー・オートマトン、kフリップポッシュダウンオートマトンなどの関連モデルへの結果の拡張を行うこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1方向読み取り専用入力とリバーサルバウンドワークテープを備えた非決定的チューリングマシンが受理する言語が密度を持つかどうかは決定可能か？
• RQ2 密度の決定可能性は、1方向リバーサルバウンドキュー・オートマトン、スタック・オートマトン、kフリップポッシュダウンオートマトンへと拡張可能か？
• RQ3 1本のリバーサルバウンドワークテープから2本に増加した場合でさえ、決定的マシンにおいて密度の決定可能性は保たれるか？
• RQ4 ユニナリアルファベット上で動作する1方向非決定的2ポップダウンオートマトンが受理する言語の密度は決定可能か、ただし両方のスタックが1回のリバーサルバウンドに制限されている場合？
• RQ5 1方向決定的マシンにおいて、複数のリバーサルバウンドカウンターやユニナリカウンターを備えた場合、決定可能性は拡張可能か？

主な発見

• 1方向非決定的チューリングマシンがリバーサルバウンドワークテープを備える場合、そのストア言語の正則性により、受理言語が密度を持つかどうかは決定可能である。
• 密度の決定可能性は、1方向リバーサルバウンドキュー・オートマトン、スタック・オートマトン、kフリップポッシュダウンオートマトンへと拡張可能であり、これらはそのようなチューリングマシンによってシミュレート可能である。
• 1方向決定的チューリングマシンが2本の1リバーサルバウンドワークテープを備える場合、受理言語が密度を持つかどうかは決定不能である。
• ユニナリアルファベット上で動作する1方向非決定的2ポップダウンオートマトンに対しても、両方のスタックが1リバーサルバウンドに制限されている場合、決定不能性が成立する。
• ユニナリ言語に関しては、リバーサルバウンドカウンターを備えた2方向非決定的カウンターマシンでは密度が決定可能であるが、1本の非制限カウンターを備えた2方向決定的マシンでは決定不能である。
• 決定可能と決定不能な密度問題の境界は、リバーサルバウンドテープの数、および決定性の有無、またはユニナリアルファベットの存在にかかっている。