[論文レビュー] On the density or measure of sets and their sumsets in the integers or the circle

Pierre‐Yves Bienvenu, François Hennecart|arXiv (Cornell University)|May 20, 2019

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 11被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、整数および円周上の部分集合が所望の下付き漸近的密度と和集合密度をもつことの存在を解決する。任意の $\alpha, \beta \in [0,1]$ に対して、$\beta \geq \min(2\alpha, 1)$ ならば、$\underline{\mathrm{d}}(A) = \alpha$ かつ $\underline{\mathrm{d}}(2A) = \beta$ を満たす $A \subset \mathbb{Z}$ および可測集合 $A \subset \mathbb{R}/\mathbb{Z}$ が存在することを示し、Weylの基準による等分布を用いた擬似 $k$-乗数の構成により証明される。

ABSTRACT

Let $\\mathrm{d}(A)$ be the asymptotic density (if it exists) of a sequence of integers $A$. For any real numbers $0\\leq\\alpha\\leq\\beta\\leq 1$, we solve the question of the existence of a sequence $A$ of positive integers such that $\\mathrm{d}(A)=\\alpha$ and $\\mathrm{d}(A+A)=\\beta$. More generally we study the set of $k$-tuples $(\\mathrm{d}(iA))_{1\\leq i\\leq k}$ for $A\\subset \\mathbb{N}$. This leads us to introduce subsets defined by diophantine constraints inside a random set of integers known as the set of ``pseudo $s$th powers''. We consider similar problems for subsets of the circle $\\mathbb{R}/\\mathbb{Z}$, that is, we partially determine the set of $k$-tuples $(\\mu(iA))_{1\\leq i\\leq k}$ for $A\\subset \\mathbb{R}/\\mathbb{Z}$.

研究の動機と目的

• 整数の部分集合 $A \subset \mathbb{Z}$ に対して、密度が存在する場合のすべての $k$-重組 $(\mathrm{d}(A), \mathrm{d}(2A), \dots, \mathrm{d}(kA))$ の集合を特定すること。
• 可測部分集合 $A \subset \mathbb{R}/\mathbb{Z}$ に対して、ハール測度が存在する場合の $k$-重組 $(\mu(A), \mu(2A), \dots, \mu(kA))$ の集合を特徴づけること。
• 両方の設定（整数および円周）において、任意の与えられたペア $(\alpha, \beta)$ を満たす $\beta \geq \min(2\alpha, 1)$ を実現する集合の構成を行うこと。
• 特に擬似 $k$-乗数によって定義されるディオファントス的制約を用いた確率的集合の和集合の密度を分析すること。
• 確率的技法および等分布理論を用いて、和集合密度の結果を高次和集合へ拡張すること。

提案手法

• 無理数回転を介して、$\mathbb{Z}$ における密度を $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ 上の測度に結びつけるために、Weylの等分布基準を用いる。
• ディオファントス的制約によって定義される擬似 $k$-乗数—すなわち確率的部分集合—を用いて、所望の密度プロファイルを達成する集合を構成する。
• Borel-Cantelliの補題を用いて、特定の区間内のほとんどすべての整数が、$k$ 重和として表現可能であることを示す。
• 表記数 $R_k(n)$ のモーメント推定および分散の上限を用いて、$kA$ の密度を制御する。
• Landreauの擬似 $k$-乗数の和に関する結果を応用し、$\mathbb{P}(R_k(n) = 0)$ を推定し、漸近的密度を導出する。
• 分数部分の等分布に関する定理 1.2 を適用して、無理数回転における和集合の期待密度を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのペア $(\alpha, \beta) \in [0,1]^2$ に対して、$\underline{\mathrm{d}}(A) = \alpha$ かつ $\underline{\mathrm{d}}(2A) = \beta$ を満たす $A \subset \mathbb{Z}$ が存在するか？
• RQ2 条件 $\beta \geq \min(2\alpha, 1)$ を満たすすべてのペアは、正の密度を持つ集合 $A$ によって実現可能か？
• RQ3 可測部分集合 $A \subset \mathbb{R}/\mathbb{Z}$ に対して、すべての可能な $k$-重組 $(\mu(A), \mu(2A), \dots, \mu(kA))$ の集合は何か？
• RQ4 擬似 $k$-乗数によって定義される確率的集合に対して、高次和集合 $kA$ の密度はどのように振る舞うか？
• RQ5 擬似 $k$-乗数の構成におけるパrameter $c$ を用いて、$kA$ の密度を制御可能か？

主な発見

• 任意の $\alpha, \beta \in [0,1]$ に対して、$\beta \geq \min(2\alpha, 1)$ ならば、$\mathrm{d}(A) = \alpha$ かつ $\mathrm{d}(2A) = \beta$ を満たす $A \subset \mathbb{Z}$ が存在し、$A$ は明確な漸近的密度を持つ。
• 上記の $\alpha, \beta$ に対して、$\mu(A) = \alpha$ かつ $\mu(2A) = \beta$ を満たす可測部分集合 $A \subset \mathbb{R}/\mathbb{Z}$ が存在する。さらに $\alpha > 0$ の場合、$A$ は有限個の開区間の和集合としてとれる。
• 条件 $\beta \geq \min(2\alpha, 1)$ を満たすとき、$A \subset \mathbb{Z}$ に対する $k$-重組 $(\mathrm{d}(A), \mathrm{d}(2A), \dots, \mathrm{d}(kA))$ の集合は完全に特徴づけられる。
• $k \geq 2$ のとき、$\mathrm{d}(kA)$ はほとんど確実に $\frac{k}{k+1} - F_k(c)$ に等しくなる。ここで $F_k(c)$ は $c$ の減少連続関数であり、$\lim_{c \to 0} F_k(c) = \frac{k}{k+1}$ かつ $\lim_{c \to \infty} F_k(c) = 0$ を満たす。
• 擬似 $k$-乗数の構成により、$kA$ の補集合の密度はゼロであることが保証され、特定の条件下で $k+1$ 重和集合に対して $\mathrm{d}(kA) = 1$ となる。
• 非表現可能な $n$ の経験的密度 $X_N$ の分散は $O(N^{-1/k})$ であり、これは $\frac{1}{k+1} + F_k(c)$ へのほとんど確実な収束を保証する。