[論文レビュー] On the derivation of Fourier's law for coupled anharmonic oscillators

Jean Bricmont, A. Kupiainen|ArXiv.org|May 22, 2006

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics参考文献 29被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、境界に確率的熱浴を備えた3次元格子上に配置された弱く結合された非調和振動子系に対して、フーリエの法則の第一原理的導出を提供する。ホフ方程式の定常状態に対する切断を施すことにより、著者らは、大規模なNに対して局所的平衡状態を示し、非線形温度プロファイルと温度勾配に比例する熱流量を満たすフーリエの法則を満たす解の存在および一意性を証明する。

ABSTRACT

We study the Hamiltonian system made of weakly coupled anharmonic oscillators arranged on a three dimensional lattice and subjected to a stochastic forcing mimicking heat baths of temperatures T_1 and T_2 on the hyperplanes at x_1=0 and N. We introduce a truncation of the Hopf equations describing the stationary state of the system which leads to a nonlinear equation for the two-point stationary correlation functions. We prove that these equations have a unique solution which, for N large, is approximately a local equlibrium state satisfying Fourier law that relates the heat current to a local temperature gradient. The temperature exhibits a nonlinear profile.

研究の動機と目的

• 古典的多体系の微視的運動からフーリエの法則を厳密に導出すること。
• 弱く結合された非調和振動子系における非平衡統計力学の定常状態の存在および一意性という未解決問題に取り組むこと。
• 巨視的温度および熱流量を微視的観測量として定義し、局所的勾配を用いてそれらの比例関係を証明すること。
• 大規模系Nにおける定常状態が、フーリエの法則に整合する局所的平衡状態に近似されることを示すこと。

提案手法

• 3次元格子上の弱く結合された非調和振動子系をハミルトニアン力学と境界での確率的駆動力でモデル化し、温度T₁およびT₂の熱浴を模倣する。
• 定常状態のためのホフ方程式の切断を導入し、2点相関関数に対する閉じた非線形方程式系を導出する。
• 関数空間Sにおける適切なバインドと関数解析的技法を用いて、切断された方程式系の解の存在および一意性を証明する。
• 大N極限における解の解析を行い、局所的平衡状態への収束を示し、フーリエの法則を満たす温度プロファイルを特定する。
• 巨視的温度T(x)を運動エネルギーの空間平均、熱流量J(x)を微視的電流の空間平均として定義する。
• 摂動展開および対称性の議論（奇対称性、周期性）を用いて相関関数の振る舞いを制御し、解の収束を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 確率的熱浴を伴う結合非調和振動子系の古典的多体系において、フーリエの法則を第一原理から導出できるか？
• RQ2 非平衡境界条件（T₁ ≠ T₂）下で、このような系に対して一意な定常状態が存在するか？
• RQ3 大規模系Nにおいて、定常状態は近似的に局所的平衡状態であるか？
• RQ4 得られる温度プロファイルは、フーリエの法則に整合する非線形依存性を示すか？
• RQ5 大N極限において、熱流量が局所的温度勾配に比例することを示せるか？

主な発見

• 定常状態の切断ホフ方程式は、大N極限において一意な解を持つ。
• 解は、非線形温度プロファイルと局所的温度勾配に比例する熱流量を持つ局所的平衡状態に収束する。
• 巨視的温度T(x)は運動エネルギーの期待値として定義され、熱流量J(x)は微視的電流の期待値として定義される。
• 系は、温度依存の熱伝導率k(T)を伴う非線形温度プロファイルを示し、フーリエの法則を満たす。
• 局所的平衡への収束は、o(1/N)の補正項を伴い、フーリエの法則の期待されるスケーリングと整合する。
• 証明は、制御された減衰性と正則性を持つ関数空間Sにおける関数解析的バインドに依拠し、摂動展開の有効性を保証する。