[論文レビュー] On the derivation of the Boltzmann equation in quantum field theory: Flat spacetime

Stefan Hollands, Gregor Leiler|arXiv (Cornell University)|Mar 8, 2010

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 28被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、2次元ミンコフスキー空間における多項式自己相互作用をもつエルミートスカラー場を用いて、平坦な時空における量子場理論におけるボルツマン方程式の数学的に厳密な導出を提供する。非摂動的プリボルツマン方程式を導出し、長時間・低密度極限において、得られる方程式がボルツマン方程式に類似しているが、ループ補正を含めた際に整合性を保つために保持しなければならない追加の再散乱項を含むことを示している。

ABSTRACT

In this paper, we analyze in a mathematically rigorous fashion the validity of the Boltzmann transport equation within quantum field theory. We work within the specific model of a hermitian, scalar field with polynomial self-interaction in two-dimensional Minkowski space. Our main results are as follows: Firstly, that one can obtain a non-perturbative, exact integro-differential equation for the number densities, which we called the pre-Boltzmann equation. We secondly take the long-time-dilute-medium limit of this equation, to obtain a simpler equation. This limiting equation is qualitatively similar to the Boltzmann equation, but it involves additional re-scattering terms. These terms disappear if perform a perturbation expansion in the coupling constant and ignore the loop corrections (Born approximation). If loop corrections are included, then we argue that for consistency, one must also keep corresponding rescattering terms which are normally ignored. Our analysis is hence of potential relevance for physical applications of the Boltzmann equation wherein loop effects are essential, such as in the standard scenario of baryogensis in the Early Universe. Our analysis is performed in the context of flat spacetime, but in such a way that the main ingredients can be transferred, straightforwardly to the case of a curved spacetime of Robertson-Walker-type. Our main technical tools are methods from constructive quantum field theory, as well as a general method called "projection technique". This turns out to give convergent expansions, and a rather elegant way of organizing the combinatorics of the various quantum field theoretic expansions in the analysis.

研究の動機と目的

• 平坦な時空における量子場理論からボルツマン方程式を、その標準的なヒューリスティックな導出における基礎的仮定を吟味しながら、数学的に厳密に導出すること。
• ループ補正を含めた場合に生じる再散乱項の役割を特定・分析すること。
• ループ効果（例：バリオゲネシス）を含む状況において、ボルツマン方程式が量子場理論で有効となる条件を明確にすること。
• 射影技術および数密度の定義を一般化することで、曲がった時空、特にロバートソン＝ウォーカー背景に適用可能な枠組みを構築すること。
• ループ補正を一貫して含めるには、それに応じた再散乱項を含めなければならないことの証明であり、これはボルツマン近似で通常無視されている。

提案手法

• 結合定数の摂動的および非摂動的展開を体系的に整理するため、構成的量子場理論の射影技法を用いる。
• 2次元ミンコフスキー空間におけるφ^pモデルに対して、非摂動的積分微分方程式（プリボルツマン方程式）を数密度の進化について導出する。
• プリボルツマン方程式の長時間・低密度極限を、小さなスケーリングパラメータεでパrameter化して、主要な有効力学を抽出する。
• 媒質効果（自己エネルギー補正および分散シフトを含む）を考慮した修正されたS行列アプローチを用いる。
• モード関数にWKB型の断続的近似を適用することで、曲がった時空、特にロバートソン＝ウォーカー宇宙論に形式を拡張する。
• ループ補正の構造とそれらと再散乱項の相互作用を分析し、後者を無視するとループを含めた際に整合性が破れることが示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平坦な時空における量子場理論からボルツマン方程式を数学的に厳密に導出できる条件は何か？
• RQ2 ループ補正を行列要素に含めた場合、有効力学において再散乱項が果たす役割は何か？
• RQ3 ループ補正の含め方がボルツマン近似の有効性に与える影響は何か？
• RQ4 この形式は、特に膨張する宇宙論的背景において曲がった時空に一般化可能か？
• RQ5 媒質効果（例：修正された分散関係）は、プリボルツマン方程式の自己無撞撃的解からどの程度現れるのか？

主な発見

• 2次元ミンコフスキー空間におけるφ^pモデルに対して、数密度の進化に含まれるすべての量子場理論的効果を捉える非摂動的・正確なプリボルツマン方程式が導出された。
• 長時間・低密度極限において、得られる方程式はボルツマン方程式に類似しているが、標準的導出には欠落している追加の再散乱項を含む。
• これらの再散乱項はボルツマン近似では消えるが、ループ補正を含めた場合には整合性を保つために保持されなければならない。
• 行列要素におけるループ補正は、それに応じた再散乱寄与がなければ一貫して取り扱えないことが示され、標準的な無視の慣習に疑問を呈する。
• 射影技法の適応および断続的モード関数による数密度の定義により、この枠組みは曲がった時空、特にロバートソン＝ウォーカー宇宙論に拡張可能である。
• 形式は自己無撞撃的分散関係E(p) = ω_p + O(ε)の修正を予測し、希釈でない状態における媒質効果を反映している。これは標準的なボルツマンアプローチで通常無視されている。