[論文レビュー] On the derivative of the associated Legendre function of the first kind of integer order with respect to its degree

Radosław Szmytkowski|arXiv (Cornell University)|Jul 18, 2009

Mathematical functions and polynomials参考文献 65被引用数 16

ひとこと要約

本稿では、整数 $ m $ に対して、第一種関数 $ P_{\nu}^{\pm m}(z) $ の次数 $ \nu $ に関する導関数の明示的表現およびロドリゲス型公式を導出する。$ \left[ \partial P_{\nu}^{\pm m}(z)/\partial\nu \right]_{\nu=n} $ について、閉曲線積分および閉形式の表現を確立し、これらを用いて複素平面全体で数値計算に適した第二種関数 $ Q_n^{\pm m}(z) $ の新しい明示的およびロドリゲス型表現を構築する。

ABSTRACT

In our recent works [R. Szmytkowski, J. Phys. A 39 (2006) 15147; corrigendum: 40 (2007) 7819; addendum: 40 (2007) 14887], we have investigated the derivative of the Legendre function of the first kind, $P_ν(z)$, with respect to its degree $ν$. In the present work, we extend these studies and construct several representations of the derivative of the associated Legendre function of the first kind, $P_ν^{\pm m}(z)$, with respect to the degree $ν$, for $m\in\mathbb{N}$. At first, we establish several contour-integral representations of $\partial P_ν^{\pm m}(z)/\partialν$. They are then used to derive Rodrigues-type formulas for $[\partial P_ν^{\pm m}(z)/\partialν]_{ν=n}$ with $n\in\mathbb{N}$. Next, some closed-form expressions for $[\partial P_ν^{\pm m}(z)/\partialν]_{ν=n}$ are obtained. These results are applied to find several representations, both explicit and of the Rodrigues type, for the associated Legendre function of the second kind of integer degree and order, $Q_{n}^{\pm m}(z)$; the explicit representations are suitable for use for numerical purposes in various regions of the complex $z$-plane. Finally, the derivatives $[\partial^{2}P_ν^{m}(z)/\partialν^{2}]_{ν=n}$, $[\partial Q_ν^{m}(z)/\partialν]_{ν=n}$ and $[\partial Q_ν^{m}(z)/\partialν]_{ν=-n-1}$, all with $m>n$, are evaluated in terms of $[\partial P_ν^{-m}(\pm z)/\partialν]_{ν=n}$.

研究の動機と目的

• 整数 $ m \in \mathbb{N} $ に対して、第一種関数 $ P_{\nu}^{\pm m}(z) $ の次数 $ \nu $ に関する導関数を体系的かつ系統的に調査し、$ P_\nu(z) $ に関する先行研究を拡張すること。
• 複素解析を用いて、$ \partial P_{\nu}^{\pm m}(z)/\partial\nu $ の閉曲線積分表現を導出し、整数 $ \nu = n $ における導関数の解析的および数値的取り扱いを可能にすること。
• ロドリゲス型公式および閉形式の表現を、$ \left[ \partial P_{\nu}^{\pm m}(z)/\partial\nu \right]_{\nu=n} $ に対して構築し、ディガンマ関数 $ \psi(\zeta) $ を含む式としての閉形式を提供すること。
• これらの結果を応用して、複素 $ z $-平面のさまざまな領域で有効な、第二種関数 $ Q_n^{\pm m}(z) $ の新しい明示的およびロドリゲス型表現を導出すること。
• $ \left[ \partial^2 P_\nu^m(z)/\partial\nu^2 \right]_{\nu=n} $、$ \left[ \partial Q_\nu^m(z)/\partial\nu \right]_{\nu=n} $、および $ \left[ \partial Q_\nu^m(z)/\partial\nu \right]_{\nu=-n-1} $ の高次導関数を、特に $ m > n $ の場合に、$ \left[ \partial P_\nu^{-m}(\pm z)/\partial\nu \right]_{\nu=n} $ を用いて評価すること。

提案手法

• 複素解析を用いて、$ t = 1 $、$ t = -1 $、$ t = z $ の間の分岐カットを避けるような積分路をとることで、$ \partial P_{\nu}^{\pm m}(z)/\partial\nu $ の閉曲線積分表現を導出する。
• 得られた閉曲線積分表現を基に、$ \left[ \partial P_{\nu}^{\pm m}(z)/\partial\nu \right]_{\nu=n} $ に対するロドリゲス型公式を導出し、標準ルジャンドル関数に対するヨリフィの公式を一般化する。
• Legendre多項式およびディガンマ関数 $ \psi(\zeta) $ を含む和を用いた、$ \left[ \partial P_{\nu}^{\pm m}(z)/\partial\nu \right]_{\nu=n} $ の閉形式表現を導出する。
• $ \nu = n $ における $ \partial P_{\nu}^{\pm m}(z)/\partial\nu $ の導出式を応用し、複素 $ z $-平面の異なる領域で有効な、$ Q_n^{\pm m}(z) $ の新しい明示的およびロドリゲス型表現を構築する。
• 関係式を用いて、$ \nu = n $ および $ \nu = -n-1 $ における $ Q_\nu^m(z) $ の高次導関数を、$ \nu = n $ における $ \partial P_\nu^{-m}(\pm z)/\partial\nu $ に還元し、特に $ m > n $ の場合に評価する。
• 分岐点特異性を扱い、複素平面の異なる領域で収束を保証するために、ポッホハマー曲線および解析接続の技法を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 整数 $ m \in \mathbb{N} $ および $ \nu = n \in \mathbb{N} $ に対して、$ \partial P_{\nu}^{\pm m}(z)/\partial\nu $ の閉曲線積分および閉形式表現は何か？
• RQ2 既知の $ P_\nu(z) $ に関する結果を拡張して、$ \left[ \partial P_{\nu}^{\pm m}(z)/\partial\nu \right]_{\nu=n} $ に対するロドリゲス型公式をどのように一般化できるか？
• RQ3 $ \partial P_{\nu}^{\pm m}(z)/\partial\nu $ の $ \nu = n $ における導出式を用いて、$ Q_n^{\pm m}(z) $ の明示的およびロドリゲス型公式を構築できるか？
• RQ4 $ m > n $ の場合に、$ \left[ \partial^2 P_\nu^m(z)/\partial\nu^2 \right]_{\nu=n} $、$ \left[ \partial Q_\nu^m(z)/\partial\nu \right]_{\nu=n} $、および $ \left[ \partial Q_\nu^m(z)/\partial\nu \right]_{\nu=-n-1} $ の値は何か？また、それらは $ \left[ \partial P_\nu^{-m}(\pm z)/\partial\nu \right]_{\nu=n} $ とどのように関係しているか？
• RQ5 導出された $ Q_n^{\pm m}(z) $ の表現は、複素 $ z $-平面のさまざまな領域でどのように数値的に性能を発揮するか？

主な発見

• 本稿では、$ \partial P_{\nu}^{\pm m}(z)/\partial\nu $ の閉曲線積分表現を導出し、$ t = 1 $ から $ t = z $ への分岐カットを囲む曲線 $ \mathscr{C}^{(+)} $ を用いることで、整数 $ \nu = n $ における解析接続および評価を可能にする。
• $ \left[ \partial P_{\nu}^{\pm m}(z)/\partial\nu \right]_{\nu=n} $ に対するロドリゲス型公式が確立され、標準ルジャンドル関数に対するヨリフィの公式を一般化しており、$ (z^2 - 1)^n \ln\frac{z+1}{2} $ の微分を含む。
• $ \left[ \partial P_{\nu}^{\pm m}(z)/\partial\nu \right]_{\nu=n} $ の閉形式表現が、Legendre多項式および $ \psi(k+n+1) - \psi(k+1) $ の和を用いて導出され、二項係数および階乗項を含む係数を伴う。
• $ P_{\nu}^{\pm m}(z) $ の導関数に関する導出式を用いて、$ 0 \leq m \leq n $ および $ m > n $ の両方の範囲で有効な、$ Q_n^{\pm m}(z) $ の新しい明示的およびロドリゲス型表現が構築された。
• $ \left[ \partial^2 P_\nu^m(z)/\partial\nu^2 \right]_{\nu=n} $、$ \left[ \partial Q_\nu^m(z)/\partial\nu \right]_{\nu=n} $、および $ \left[ \partial Q_\nu^m(z)/\partial\nu \right]_{\nu=-n-1} $ の高次導関数が、特に $ m > n $ の場合に、$ \left[ \partial P_\nu^{-m}(\pm z)/\partial\nu \right]_{\nu=n} $ を用いて評価され、異なる関数クラス間の再帰的関係を提供する。
• 導出された $ Q_n^{\pm m}(z) $ の公式は、対数関数および有理関数項を含む構造のおかげで、分岐カット付近や無限遠点を含む複素 $ z $-平面の全域で明示的に数値計算に適している。