[論文レビュー] On the derivatives $\partial^{2}P_{ u}(z)/\partial u^{2}$ and $\partial Q_{ u}(z)/\partial u$ of the Legendre functions with respect to their degrees

Radosław Szmytkowski|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2017

Mathematical functions and polynomials参考文献 25被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、整数次の $ u = n$ における第一種ルジャンドル関数の第二階微分 $ abla^2 P_\nu(z)/\partial\nu^2$ および第二種関数の第一階微分 $ abla Q_\nu(z)/\partial\nu$ について、ディログラム関数 $ abla_2$、ルジャンドル多項式、および明示的に構成された多項式 $B_n(z)$ と $C_n(z)$ を用いた閉形式の表現を導出する。これらの結果は、既存の第一階微分に関する研究を拡張し、特殊関数およびポリガンマ関数を含む厳密な解析的公式を提供する。

ABSTRACT

We provide closed-form expressions for the degree-derivatives $[\partial^{2}P_{ u}(z)/\partial u^{2}]_{ u=n}$ and $[\partial Q_{ u}(z)/\partial u]_{ u=n}$, with $z\in\mathbb{C}$ and $n\in\mathbb{N}_{0}$, where $P_{ u}(z)$ and $Q_{ u}(z)$ are the Legendre functions of the first and the second kind, respectively. For $[\partial^{2}P_{ u}(z)/\partial u^{2}]_{ u=n}$, we find that $$\displaystyle\frac{\partial^{2}P_{ u}(z)}{\partial u^{2}}\bigg|_{ u=n}=-2P_{n}(z) extrm{Li}_{2}\frac{1-z}{2}+B_{n}(z)\ln\frac{z+1}{2}+C_{n}(z),$$ where $ extrm{Li}_{2}[(1-z)/2]$ is the dilogarithm function, $P_{n}(z)$ is the Legendre polynomial, while $B_{n}(z)$ and $C_{n}(z)$ are certain polynomials in $z$ of degree $n$. For $[\partial Q_{ u}(z)/\partial u]_{ u=n}$ and $z\in\mathbb{C}\setminus[-1,1]$, we derive $$\displaystyle \frac{\partial Q_{ u}(z)}{\partial u}\bigg|_{ u=n}=-P_{n}(z) extrm{Li}_{2}\frac{1-z}{2}-\frac{1}{2}P_{n}(z)\ln\frac{z+1}{2}\ln\frac{z-1}{2} +\frac{1}{4}B_{n}(z)\ln\frac{z+1}{2}-\frac{(-1)^{n}}{4}B_{n}(-z)\ln\frac{z-1}{2}-\frac{\pi^{2}}{6}P_{n}(z) +\frac{1}{4}C_{n}(z)-\frac{(-1)^{n}}{4}C_{n}(-z).$$ A counterpart expression for $[\partial Q_{ u}(x)/\partial u]_{ u=n}$, applicable when $x\in(-1,1)$, is also presented. Explicit representations of the polynomials $B_{n}(z)$ and $C_{n}(z)$ as linear combinations of the Legendre polynomials are given.

研究の動機と目的

• 第一種ルジャンドル関数 $P_\nu(z)$ の次数 $ abla$ に関する第二階微分、すなわち $ abla^2 P_\nu(z)/\partial\nu^2$ を整数 $ abla = n$ において閉形式で得ること。
• 既存の $P_\nu(z)$ の次数に関する第一階微分に関する結果を第二階微分に拡張し、完全な解析的公式を提供すること。
• 第二種ルジャンドル関数 $Q_\nu(z)$ の次数 $ abla$ に関する第一階微分、すなわち $ abla Q_\nu(z)/\partial\nabla$ を $ abla = n$ において、$z \in \mathbb{C} \setminus [-1,1]$ および $x \in (-1,1)$ の両方のケースについて、類似の閉形式表現を導出すること。
• 導出式に現れる多項式 $B_n(z)$ および $C_n(z)$ を、ルジャンドル多項式の線形結合として明示的に表現すること。
• 再帰関係、和の恒等式、および特殊関数論（特にディガマ関数およびトライガマ関数を含む）を用いて、導出された公式の厳密な解析的証明を提供すること。

提案手法

• 標準的なルジャンドル関数の再帰関係を $ abla$ に関して二回微分し、得られる第二階差分方程式を解くことで、第二階微分 $ abla^2 P_\nu(z)/\partial\nabla^2|_{\nabla=n}$ を導出する。
• 既知の第一階微分公式 $ abla P_\nu(z)/\partial\nabla|_{\nabla=n} = P_n(z) \ln\left(\frac{z+1}{2}\right) + R_n(z)$ を初期条件として用い、$R_n(z)$ はディガマ関数とルジャンドル多項式で表される。
• ディガマ関数 $\psi(z)$、トライガマ関数 $\psi_1(z)$、および調和数に類似した和の恒等式を用いて、多項式 $B_n(z)$ および $C_n(z)$ の明示的形を導出する。
• $Q_\nu(z)$ の場合、積分表現と解析接続を用いて第一階微分を導出し、$z \in \mathbb{C} \setminus [-1,1]$ および $x \in (-1,1)$ のそれぞれについて別個の式を導出する。
• ディログラム関数 $\mathrm{Li}_2(z) = -\int_0^z \frac{\ln(1-t)}{t} dt$ を、両方の微分式の主要な構成要素として用いる。
• 交代和と有理関数を含む補助的な和の恒等式について、調和数およびポリガンマ関数の性質を用いて詳細な証明を提供する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 整数次数 $ abla = n$ における第二階微分 $ abla^2 P_\nu(z)/\partial\nabla^2$ の閉形式表現は何か？
• RQ2 微分式に現れる多項式 $B_n(z)$ および $C_n(z)$ をルジャンドル多項式の線形結合として明示的に表現できるか？
• RQ3 複素数 $z \in \mathbb{C} \setminus [-1,1]$ に対して、$ abla = n$ における $Q_\nu(z)$ の第一階微分 $ abla Q_\nu(z)/\partial\nabla$ の解析的形は何か？
• RQ4 実数 $x \in (-1,1)$ における $ abla Q_\nu(x)/\partial\nabla|_{\nabla=n}$ の式は、複素数の場合とどのように異なるか？
• RQ5 導出された公式は、非負整数 $n$ を超えて、関数的恒等式を用いて負の整数へ拡張可能か？

主な発見

• 整数次数 $ abla = n$ における $P_\nu(z)$ の第二階微分は、$\partial^2 P_\nu(z)/\partial\nu^2|_{\nu=n} = -2P_n(z)\, \mathrm{Li}_2\left(\frac{1-z}{2}\right) + B_n(z)\ln\left(\frac{z+1}{2}\right) + C_n(z)$ で与えられ、ここで $B_n(z)$ および $C_n(z)$ は次数 $n$ の $z$ に関する多項式である。
• $B_n(z)$ は、$4[\psi(2n+1) - \psi(n+1)]P_n(z) + 4\sum_{k=0}^{n-1} \frac{2k+1}{(n-k)(n+k+1)} P_k(z)$ として明示的に表現され、ディガマ関数 $\psi(z)$ を含む。
• $C_n(z)$ は、$\psi(2n+1)$、$\psi_1(2n+1)$、およびディガマ関数とトライガマ関数に依存する係数を持つルジャンドル多項式の交代和を含む複雑な式で与えられる。
• $z \in \mathbb{C} \setminus [-1,1]$ の場合、$Q_\nu(z)$ の第一階微分は、$\partial Q_\nu(z)/\partial\nu|_{\nu=n} = -P_n(z)\, \mathrm{Li}_2\left(\frac{1-z}{2}\right) - \frac{1}{2}P_n(z)\ln\left(\frac{z+1}{2}\right)\ln\left(\frac{z-1}{2}\right) + \frac{1}{4}B_n(z)\ln\left(\frac{z+1}{2}\right) - \frac{(-1)^n}{4}B_n(-z)\ln\left(\frac{z-1}{2}\right) - \frac{\pi^2}{6}P_n(z) + \frac{1}{4}C_n(z) - \frac{(-1)^n}{4}C_n(-z)$ で与えられる。
• $x \in (-1,1)$ の場合、微分 $\partial Q_\nu(x)/\partial\nu|_{\nu=n}$ は、$-P_n(x)\, \mathrm{Li}_2\left(\frac{1-x}{2}\right) - \frac{1}{2}P_n(x)\ln\left(\frac{1+x}{2}\right)\ln\left(\frac{1-x}{2}\right) + \frac{1}{4}B_n(x)\ln\left(\frac{1+x}{2}\right) - \frac{(-1)^n}{4}B_n(-x)\ln\left(\frac{1-x}{2}\right) - \frac{\pi^2}{6}P_n(x) + \frac{1}{4}C_n(x) - \frac{(-1)^n}{4}C_n(-x)$ として導出される。
• 導出された公式はすべての $n \in \mathbb{N}_0$ に対して有効であり、$P_{-\nu-1}(z) = P_\nu(z)$ という恒等式を用いることで、$ abla^2 P_\nu(z)/\partial\nu^2|_{\nu=n}$ の結果は負の整数へも拡張可能である。