[論文レビュー] On the derived category of 1-motives

Luca Barbieri-Viale, Bruno Kahn|arXiv (Cornell University)|Sep 9, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、指数的特徴を逆数にした後、完璧体上のデリーニュ1モチーフの導来圏をヴォエバドスキーのエタール型幾何的モチーフの三角圏に埋め込む。この埋め込みに対して左随伴関手 LAlb を構成し、任意の代数的多様体のモチーフを有界な1モチーフ複体として与える。滑らかな多様体に対しては完全に決定され、特異な多様体に対しても部分的に決定される。これにより、ロイツマン型定理のモチーフ的証明と、デリーニュの1モチーフに関する予想の新たなケースが得られる。

ABSTRACT

This is the final version of the 2007 preprint titled "On the derived category of 1-motives, I". It has been substantially expanded to contain a motivic proof of (two thirds of) Deligne's conjecture on 1-motives with rational coefficients, hence the new title. Compared to the 2007 preprint, the additions mainly concern an abstract theory of realisations with weight filtrations; Deligne's conjecture is tackled though them by an adjunction game.

研究の動機と目的

• 指数的特徴を逆数にした後、ヴォエバドスキーの幾何的モチーフの三角圏に1モチーフの導来圏を埋め込むこと。
• この埋め込みに対して左随伴関手 LAlb を構成し、各多様体に有界な1モチーフ複体を割り当てる。
• 滑らかでない多様体に対しても LAlb(X) と RPic(X) を計算し、アーベル・コンプレックスとピカード・コンプレックスのモチーフ的解釈を与える。
• ロイツマン型定理のモチーフ的証明と、デリーニュの1モチーフに関する予想の新たなケースを提示する。
• 双対性と移行構造を用いて、1モチーフ的層、ホモトピー t-構造、および1モチーフの導来圏の関係を明確化する。

提案手法

• 指数的特徴を逆数にした後、ヴォエバドスキーの幾何的モチーフのエタール型三角圏 DM_{gm,ét}^{eff} に1モチーフの導来圏を埋め込む。
• 全射的かつ忠実な埋め込みを誘導する普遍的実現関手 T を構成し、D^b(M_1[1/p]) から d_{≤1}DM_{gm,ét}^{eff} への像を含む。
• ホモトピー t-構造を用いて、総和関手 Tot とモチーフ的カルティエ双対性を組み合わせた合成として左随伴関手 LAlb を定義する。
• ホモトピー t-構造と1モチーフ的層の理論を用いて、埋め込みの本質的像を特徴付け、重要な関手の t-正確性を証明する。
• 吹き上げ誘導と eh-位相を用いて、特異なスキームに対し LAlb(X) と RPic(X) を計算し、メイヤー＝ビエトロス構造とギジン構造を活用する。
• D^b(M_1 ⊗ ℚ) にテンソル構造を定義し、内部 Hom の公式を導出し、チャウ・モチーフやピカード・コンプレックスとの比較を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1モチーフの導来圏は、どのようにヴォエバドスキーの幾何的モチーフの三角圏に埋め込まれるのか。また、この埋め込みの像は何か。
• RQ2 1モチーフの導来圏が DM_{gm,ét}^{eff}[1/p] に埋め込まれる場合、左随伴関手は存在するか。その幾何的解釈は何か。
• RQ3 滑らかでない多様体に対し、LAlb(X) の明示的計算は何か。古典的なアーベル・スキームおよびピカード・スキームとどのように関係するか。
• RQ4 モチーフ的手法を用いてロイツマン型定理を証明し、1モチーフに関するデリーニュの予想の新たなケースを確立できるか。
• RQ5 1モチーフ的層とホモトピー t-構造は、1モチーフの導来圏とモチーフ的 t-構造とどのように相互作用するか。

主な発見

• 完璧体上の1モチーフの導来圏は、指数的特徴を逆数にした後、ヴォエバドスキーの幾何的モチーフのエタール型三角圏に完全かつ忠実に埋め込まれる。
• この埋め込みには左随伴関手 LAlb が存在し、多様体のモチーフを有界な1モチーフ複体に写す。
• 滑らかな多様体に対しては、LAlb(X) は次数 0 と 1 に集中する複体として計算され、H^0 = Alb(X) および H^1 = Pic^0(X) であり、古典的なアーベル・マップとピカード写像が回復される。
• 特異な多様体に対しては、eh-位相と吹き上げ誘導を用いて LAlb(X) を部分的に計算し、H^0 はホモロジー的アーベル・コンプレックスとして与えられる。
• RPic は Tot に対する右随伴関手として構成され、そのコホモロジー群 R^iPic(X) は X のコホモロジー的ピカード層と同定される。
• ロイツマン型定理のモチーフ的証明と、1モチーフに関するデリーニュの予想の新たなケースが与えられ、特に導来圏における特定の Ext 群の消失が示される。