[論文レビュー] On the derived category of $\bar{M}_{0,n}$

Yu. I. Manin, Maxim Smirnov|arXiv (Cornell University)|Dec 31, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、キールの吹き上げタワーとオルロフの吹き上げの導来カテゴリの定理を用いて、$\bar{M}_{0,n}$ の導来カテゴリにおける完全例外的コレクションの帰納的構成を提供する。$\bar{M}_{0,n-1} \times \u005Cbar{M}_{0,4}$ 上の例外的コレクションをK"unneth型公式とコロラリー3.6を用いて結合することで、$\bar{M}_{0,6}$ に対して完全例外的コレクションである24個のラインバンドルを明示的に構成し、境界除集合上の指定されたラインバンドルのねじれを示している。

ABSTRACT

Using Keel's presentation and Orlov's theorem, we give an inductive description of the derived category of moduli spaces of $n$--pointed stable curves of genus zero and some full exceptional collections in it. The detailed calculations are given for $\bar{M}_{0,6}$.

研究の動機と目的

• $n$-ポイント付き安定な genus 0 曲線のモジュライ空間 $\bar{M}_{0,n}$ の導来カテゴリにおける完全例外的コレクションを帰納的に構成する方法を開発すること。
• オルロフの吹き上げの導来カテゴリに関する定理を、キールによる $\bar{M}_{0,n}$ の帰納的構成（$\bar{M}_{0,p+1} \times \bar{M}_{0,q+1}$ の繰り返しの吹き上げとしての構成）に適用すること。
• 特に $n=6$ に対して、ラインバンドルの例外的コレクションを用いて $\bar{M}_{0,n}$ のクーヴィエと導来不変量を体系的かつ関手的に計算するためのアプローチを提供すること。
• 吹き上げの中心に沿った引き戻しとねじれを用いて、局所有意な層の完全例外的コレクションを構成するための条件を確立すること。

提案手法

• キールの帰納的タワーを用いる：$\bar{M}_{0,n+1}$ は、$\bar{M}_{0,n} \times \bar{M}_{0,4}$ から、$p+q=n$ を満たす $\bar{M}_{0,p+1} \times \bar{M}_{0,q+1}$ に同型な滑らかな中心に沿った繰り返しの吹き上げによって得られる。
• オルロフの定理を適用して、吹き上げ先 $\widetilde{X}$ の導来カテゴリを、元の $X$ と中心 $Y$ の導来カテゴリから再構成する。この際、例外的コレクションの公式 (1.6) に従い、$Ri_*(L\pi^*(F_\beta) \otimes \mathcal{O}_\pi(-c+1))$ と $Lq^*(E_\alpha)$ を用いる。
• [B"o] の命題 2.1.18 におけるK"unneth型公式を用いて、$\bar{M}_{0,n} \times \bar{M}_{0,4}$ 上の例外的コレクションを積に持ち上げ、吹き上げの基本となるコレクションを形成する。
• コロラリー 3.6 を適用して、例外的ペアが中心に完全に制限される吹き上げの中心に沿って順次吹き上げを行い、結果として得られるコレクションが完全かつ例外的のままであることを保証する。
• 明示的な幾何的データを用いる：$\bar{M}_{0,6}$ に存在する10個の境界除集合 $E_1, \dots, E_{10}$、それらの交わり（例：$E_1 \cdot E_4 = \mathbb{P}^1$）、および吹き上げ写像によるそれらの引き戻しを用いて、ラインバンドルのねじれを追跡する。
• 最終的な例外的コレクションを、繰り返し吹き上げの公式を適用し、$\mathcal{O}(E_{\geq i})$ によるねじれと $q^*(L_i \boxtimes G_j)$ の引き戻しを追跡することで構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 吹き上げ技法とオルロフの吹き上げの導来カテゴリに関する定理を用いて、$D^b(\bar{M}_{0,n})$ をどのように帰納的に記述できるか？
• RQ2 吹き上げタワーに沿って引き戻しとねじれを用いて、$D^b(\bar{M}_{0,n})$ における局所有意な層の完全例外的コレクションを体系的に構成できるか？
• RQ3 $\bar{M}_{0,6}$ の導来カテゴリの構造は何か？ また、ラインバンドルの例外的コレクションを用いて明示的に記述できるか？
• RQ4 $\bar{M}_{0,6}$ の境界除集合の交わりのパターンは、繰り返しの吹き上げにおける例外的コレクションの構成にどのように影響するか？
• RQ5 ベースの多様体上の例外的ペアが、吹き上げ先で完全な例外的コレクションに持ち上がるための条件は何か？

主な発見

• 本稿は、$\bar{M}_{0,6}$ 上に24個のラインバンドルからなる完全例外的コレクションを構成し、$\mathcal{O}(E_{\geq i})$ によるねじれと $\bar{M}_{0,5} \times \mathbb{P}^1$ からの引き戻しを明示的にリストアップしている。
• この例外的コレクションは、キールタワーにおける3段階の吹き上げを経て帰納的に構成されており、各段階でコロラリー 3.6 を適用して完全性と最小性を保っている。
• この構成は2つの主要な仮定に依存している：(1) 特定のラインバンドルのペアが吹き上げの中心に完全に制限されること（例：$D_{\sigma_1}$ 上の $L_1, L_2$）、(2) ペアが例外的除集合に完全に制限されること（例：$\widehat{H}_1$ 上の $L_0, L_1$）。
• 引き戻しとねじれの後も、ベースと中心の多様体上の例外的ペアが完全のまま保たれることを確認することで、コレクションの完全性条件を検証している。
• 境界除集合 $E_1, \dots, E_{10}$ の交わりのデータ（例：$E_1 \cdot E_4 = \mathbb{P}^1$）を用いて、吹き上げの系列に沿ってラインバンドルの台とねじれを追跡している。
• 最終的な例外的コレクションは、$q^*(L_i \boxtimes G_j)$ の合成と $E_{\geq i}$ の和によるねじれを用いて得られ、正しい順序と射の消失を保証している。